Paulio matricos

Paulio matricos (angl. Pauli matrices) yra trys 2x2 kompleksinės Ermitinės ir unitarinės matricos. Paprastai žymimos graikiška raide 'sigma' (σ), retkarčiais - 'tau' (τ). Naudojamos aprašyti izotopinio sukinio simetrijas. Jos yra:

$\sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\ 1&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}$

$\sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$

Pavadintos žymaus austrų fiziko Volfgango Paulio vardu.

Algebrinės savybės

$\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I$

kur I yra vienetinė matrica.

Paulio matricų determinantas ir pėdsakas (diagonalinių narių suma) yra:

$\begin{matrix} \det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex] \operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0, & \quad \ i = 1, 2, 3 \end{matrix}$

Komutatyvumo santykis

$\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3\,\!$

$\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2\,\!$

$\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1\,\!$

$\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i,\quad i\ne j\,\!$

• Paulio matricos turi tokias komutatyvumo ir nekomutayvumo savybes:

$\begin{matrix} [\sigma_i, \sigma_j] &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k \\[1ex] \{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot I \end{matrix}$