Paulio matricos

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Paulio matricos (angl. Pauli matrices) yra trys 2x2 kompleksinės Ermitinės ir unitarinės matricos. Paprastai žymimos graikiška raide 'sigma' (σ), retkarčiais - 'tau' (τ). Naudojamos aprašyti izotopinio sukinio simetrijas. Jos yra:


\sigma_1 = \sigma_x =
\begin{pmatrix}
0&1\\
1&0
\end{pmatrix}

\sigma_2 = \sigma_y =
\begin{pmatrix}
0&-i\\
i&0
\end{pmatrix}

\sigma_3 = \sigma_z =
\begin{pmatrix}
1&0\\
0&-1
\end{pmatrix}

Pavadintos žymaus austrų fiziko Volfgango Paulio vardu.

Algebrinės savybės[taisyti | redaguoti kodą]

\sigma_1^2 = \sigma_2^2 = \sigma_3^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I

kur I yra vienetinė matrica.

Paulio matricų determinantas ir pėdsakas (diagonalinių narių suma) yra:

\begin{matrix}
\det (\sigma_i) &=& -1 & \\[1ex]
\operatorname{Tr} (\sigma_i) &=& 0, & \quad \ i = 1, 2, 3
\end{matrix}

Komutatyvumo santykis[taisyti | redaguoti kodą]

\sigma_1\sigma_2 = i\sigma_3\,\!
\sigma_3\sigma_1 = i\sigma_2\,\!
\sigma_2\sigma_3 = i\sigma_1\,\!
\sigma_i\sigma_j = -\sigma_j\sigma_i,\quad i\ne j\,\!
\begin{matrix}
[\sigma_i, \sigma_j]     &=& 2 i\,\varepsilon_{i j k}\,\sigma_k \\[1ex]
\{\sigma_i, \sigma_j\} &=& 2 \delta_{i j} \cdot I
\end{matrix}