Laplaso transformacija

Laplaso transformacija – Pjero Simono Laplaso sukurtas tiesinis operatorius, transformuojantis realiųjų skaičių funkcijas į kompleksinių skaičių funkcijas. Tokiu atveju realiojo kintamojo funkcija vadinama vaizdu, o ją atitinkanti kompleksinio kintamojo funkcija – atvaizdu.

Laplaso transformacija apibrėžiama taip:

$F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

Čia $i$ – menamasis vienetas, o $0^{-}$ yra $\lim _{\epsilon \rightarrow +0}-\epsilon \$ . Tokia riba reiškia, kad į integravimo intervalą patenka visa Dirako delta funkcija.

Atvirkštinė Laplaso transformacija yra tokia:

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma -i\cdot \infty }^{\gamma +i\cdot \infty }e^{st}F(s)\,ds.$

Čia γ yra tam tikras realusis skaičius, su kuriuo atvaizdas visame integravimo intervale konverguoja absoliučiai.

Laplaso transformacijoje pakeitus $s$ į $-iw$, ši pasidaro panaši į Furjė transformaciją.