Laplaso operatorius

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Laplaso operatorius arba laplasianas - diferencialinis operatorius, atvaizduojantis skaliarinį lauką į kitą skaliarinį lauką - pirmojo lauko gradiento divergenciją. Laplaso operatoriaus apibendrinimas vektoriniams laukams yra vektorinis Laplaso operatorius. Laplaso operatorius pavadintas pagerbiant Pierre-Simon Laplace (1749–1827).

Skaliarinio lauko f = \left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) laplasianas žymimas \Delta f arba \nabla^2 f:

\Delta f = \nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f = \operatorname{div}(\operatorname{grad} f) = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_i}.

Fizikoje Laplaso operatorius naudojamas aprašyti bangos sklidimą, difuziją ir pan.

Laplaso operatorius stačiakampėje koordinačių sistemoje:

\operatorname{div}\;\operatorname{grad} f=\nabla^2 f=\Delta f={\partial^2 f\over \partial x^2}+{\partial^2 f\over \partial y^2}+{\partial^2 f\over \partial z^2}.

Laplaso operatorius cilindrinėje koordinačių sistemoje:

\Delta ={1\over \rho}{\partial \over \partial \rho}(\rho{\partial \over\partial\rho})+{1\over\rho^2}{\partial^2 \over\partial\phi^2}+{\partial^2 \over\partial z^2}={1\over \rho}({\partial \rho\over \partial \rho}{\partial \over\partial\rho}+\rho{\partial^2\over \partial\rho^2})+{1\over\rho^2}{\partial^2 \over\partial\phi^2}+{\partial^2 \over\partial z^2},
\Delta f={1\over \rho}{\partial f\over\partial\rho}+{\partial^2 f\over\partial\rho^2}+{1\over\rho^2}{\partial^2 f\over\partial\phi^2}+{\partial^2 f\over\partial z^2}.

Laplaso operatorius sferinėje koordinačių sistemoje:

\Delta={1\over r^2}{\partial\over \partial r}(r^2{\partial \over\partial r})+{1\over r^2\sin\theta}{\partial\over\partial\theta}(\sin\theta{\partial\over\partial \theta})+{1\over r^2\sin^2\theta}{\partial^2\over \partial\phi^2},
\Delta f={1\over r^2}(2r{\partial f \over\partial r}+r^2{\partial^2 f \over\partial r^2})+{1\over r^2\sin\theta}(\cos\theta{\partial f\over\partial \theta}+\sin\theta{\partial^2 f\over\partial\theta^2})+{1\over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f\over \partial\phi^2}=
={2\over r}{\partial f \over\partial r}+{\partial^2 f \over\partial r^2}+{\cot\theta\over r^2}{\partial f\over\partial \theta}+{1\over r^2}{\partial^2 f\over\partial\theta^2}+{1\over r^2\sin^2\theta}{\partial^2 f\over \partial\phi^2}.