Lévy procesas

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką
 Broom icon.svg  Šį puslapį ar jo dalį reikia sutvarkyti pagal Vikipedijos standartus.
Jei galite, sutvarkykite; apie sutvarkymą galite pranešti specialiame Vikipedijos projekte.

Levy procesas – tolydus stochastinis laiko procesas tikimybių teorijoje, kuris prasideda nuo 0, ir turi stacionarų nepriklausomą kedleg (càdlàg) tipo augimą. Tai yra stochastinis analogas nepriklausomų ir tapatingai pasiskirsčiusių atsitiktinių kintamųjų, kurių labiausiai paplitę pavyzdžiai yra Vynerio (Wiener process) ir Puasono (Poisson process) tipo procesai. Pasiūlytas prancūzų matematiko Polio Lévy (Paul Pierre Lévy).

Matematinis apibrėžimas[taisyti | redaguoti kodą]

Stochastinis procesas X=\{X_t:t \geq 0\} yra Levy procesas, jei:

  1. X_0=0 \,, (beveik visada);
  2. Nepriklausomas pokytis: bet kokiam
0 \leq t_1 < t_2<...<t_n <\infty, X_{t_2}-X_{t_1}, X_{t_3}-X_{t_2},...,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}

yra tarpusavyje nepriklausomi.

  1. Stacionarumas : kiekvienam s<t \,, X_t-X_s \, pasiskirstyme lygus

X_{t-s} \, .

  1. Atvaizdavimas t \mapsto X_t yra beveik visada tolydus iš dešinės, su egzistuojančiom kairiosiom ribom.

Ypatybės:[taisyti | redaguoti kodą]

Nepriklausomas pokytis[taisyti | redaguoti kodą]

Kiekvienu laiko momentu t ≥ 0, atsitiktinis dydis Xt yra tolydus stochastinis laiko procesas, kurio pokyčiai yra skirtumai XsXt tarp jų reikšmių skirtingais laiko momentais t < s. Stochastinio proceso pokyčiai vadinami nepriklausomais, jei bet kokiem dviem nesikertantiems laiko intervalam pokyčiai XsXt ir XuXv yra nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai. Bet koks baigtinis, priskirtų nesikertantiems laiko intervalams, pokyčių skaičius yra tarpusavyje nepriklausomas (tačiau ne paporiniai nepriklausomas).


Stacionarūs pokyčiai[taisyti | redaguoti kodą]

Žr. t.p.: Stacionarūs procesai

Stochastinio proceso pokytis vadinamas stacionariu, jei bet kokio pokyčio XsXt tikimybinis pasiskirstymas priklauso tik nuo laiko intervalo ilgio st. Pokyčiai su vienodais laiko intervalais pasiskirsto vienodai.

Vynerio procesuose tikimybių pasiskirstymas XsXt yra Normalusis skirstinys ,kur nulinis vidurkis ir dispersija st.

Homogeniniuose Puasono procesuose tikimybių XsXt pasiskirstymas yra Puasono skirstinys su tikėtina verte λ(s − t), kur λ > 0 yra proceso ,,intensyvumas” arba ,, sparta”.

Dalumas[taisyti | redaguoti kodą]

Levy procesai priklauso be galo dalomų pasiskirstymų klasei.

  • Levy proceso pokyčių tikimybių pasiskirstymai yra be galo dalūs, nes pokyčio ilgis t yra n pokyčių ilgio t/n, suma, kurie pagal apibrėžimą yra nepriklausomi ir tapatingai pasiskirstę atsitiktiniai kintamieji.
  • Priešingai, kiekvienam be galo dalomam tikimybių pasiskirstymui atitinka savo Levy procesas: pasiskirstymui D, kiekvienam teigiamam racionaliam laiko momentui, apibrėžiamas, kaip Dirako delta pasiskirstymas pradiniam laiko momentui 0. Pokyčių nepriklausomumas ir stacionarumas seka iš proceso dalumo, nors tolydumas ir atitinkamų ribų reikšmės iracionaliem laikam turi būti patikrintos.

Momentai[taisyti | redaguoti kodą]

Kiekvienam Levy procesui su baigtinias momentais, n-asis momentas \mu_n(t) = E(X_t^n) yra polinominė funkcija nuo t, kuri tenkina tapatybę:

\mu_n(t+s)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} \mu_k(t) \mu_{n-k}(s).

Levy–Khintčino atvaizdavimas[taisyti | redaguoti kodą]

Bet kokį Lévy procesą galima apibūdinti jo charakteristinę funkciją, kas sudaro Lévy – Khintčino (Levy–Khintchine) atvaizdavimą. Jei  X_t yra Levy procesas, tai jo charakteristinė funkcija tenkina sąryšį:

\mathbb{E}\Big[e^{i\theta X_t} \Big] = \exp \Bigg( ait\theta - \frac{1}{2}\sigma^2t\theta^2 + t 
\int_{\mathbb{R}\backslash\{0\}} \big( e^{i\theta x}-1 -i\theta x \mathbf{I}_{|x|<1}\big)\,W(dx) \Bigg)

Kur a \in \mathbb{R}, \sigma\ge 0 ir \mathbf{I}- indikatoriaus funkcija. Lévy matas W turi būti toks, kad

\int_{\mathbb{R}\backslash\{0\}} \min \{ x^2 , 1 \} W(dx) < \infty.

Lygiai taip pat, kaip Vynerio proceso mechaninis analogas gali būti pavaizduotas, kaip dviejų nepriklausomų atsitiktinių dalelės judėjimu kombinacija: dreifu ir difuzija, mechaninis Levy proceso analogas gali būti pavaizduotas trijų nepriklausomų atsitiktinių dalelės judėjimu kombinacija: dreifo, difuzijos ir šuolio. Šie trys nepriklausomi judėjimai apibūdinami Levy–Khinchino tripletu (a,\sigma^2, W). Galima parodyti, kad visiškai tolydus, t. y. be šuolių, Levy procesas yra Brauno dalelės judėjimas su dreifu ir difuzija.

Levy–Itō skaidinys[taisyti | redaguoti kodą]

Levy procesą galima sukonstruoti iš bet kokios duotos charakteristinės funkcijos, turinčios Levy–Khintčino atvaizdavimą. Ši išraiška atitinka mato skaidinį Lebego skaidymo teoremoje: dreifas ir difuzija yra tolydžioji, o šuoliai W singuliarioji viso mato dalis. Duotąjam Levy tripletui (a,\sigma^2, W), egzistuoja trys nepriklausomi Lévy procesai X^{(1)}, X^{(2)}, X^{(3)}, priklausantys tai pačiai tikimybių erdvei, tokie, kad:

  • X^{(1)} yra Brauno judėjimas su dreifu ir difuzija atitinka absoliučiai tolydžiąją mato dalį. Šis procesas apibūdinamas pora (a,σ2).
  • X^{(2)} yra sudėtinis Puasono procesas, kuris atitinka singuliaraus mato W taškinę dalį.
  • X^{(3)} yra kvadratiškai integruojamas šuolio martingalas, kur beveik užtikrintai turi suskaičiuojamą šuolių skaičių baigtiniame intervale, atitinkantis singuliariąją mato W dalį.

Procesas X, apibrėžiamas kaip trijų tokių procesų X^{(1)}, X^{(2)}, X^{(3)} suma X=X^{(1)}+X^{(2)}+X^{(3)} yra Lévy procesas su tripletu (a,\sigma^2, W).

Levy procesų pavyzdžiai[taisyti | redaguoti kodą]

  • Puasono procesas yra paprasčiausias Levy proceso pavyzdys. Vienmačiu atveju generuojančioji funkcija yra:
\hat{\mu}(z) = \exp (c(e^{iz} - 1)), kur z \in \R.

Tikimybės matas teške k = 0, 1, 2,..., yra : \mu(\{k\}) = e^{-c} \frac{c^k}{k!}. Puasono procesas yra tipinis šuolinis procesas. Visi šuoliai yra vienodo vienetinio dydžio. Radiaktyvus atomų skilimas, telefonų skambučių priėmimas telefono stotiės komutatoriumi, interneto puslapio užklausa, lietaus krituliai ir pan. gali būti laikomi Puasono procesų pavyzdžiais gamtoje.

generuojančioji funkcija yra: \hat{\mu}(z) = (1 - \frac{iz}{b} )^{-a}. . Gama procesas naudojamas atsitiktiniam laiko pokyčiui generuoti. Procesas neturi difuzinės komponentės ir priklauso grynai šuolinių procesų klasei.


\mu(B) = \pi^{-1} c \int\limits_B ((x-\gamma)^2 + c^2)^{-1} dx, generuojančioji funkcija yra:\hat{\mu}(z) = \exp -c|z|+ i\gamma z, \quad z \in \R.
\hat{\mu}(z) = \exp (-\frac{1}{2} a z^2 + i \gamma z),\quad z \in \R, tikimybės Borelio matas: \mu(B) = \frac{1}{\sqrt{2\pi a}} \int\limits_B \exp (\frac{-(x-\gamma)^2}{2a} ) d x.

Literatūra[taisyti | redaguoti kodą]

  • Applebaum, David (December 2004), "Lévy Processes—From Probability to Finance and Quantum Groups" (PDF), Notices of the American Mathematical Society (Providence, RI: American Mathematical Society) 51 (11): 1336–1347, ISSN 1088-9477, http://www.ams.org/notices/200411/fea-applebaum.pdf
  • J. Bertoin: Lévy Processes. Cambridge Tracts in Mathematics, Vol. 121, Cambridge University Press 2002, ISBN 0-521-64632-4
  • A. E. Kyprianou: Introductory Lectures on fluctuations of Lévy process with applications. Universitext, Springer.
  • Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Springer, Berlin 2003, ISBN 3-540-00313-4
  • Rama Cont, Peter Tankov: Financial Modelling with Jump Processes. Chapman & Hall, 2003, ISBN 1-58488-413-4

Ken-iti Sato: Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge studies in advanced mathematics, 1999, ISBN 0-521-55302-4