Kvadratinė lygtis

Matematikoje kvadratinė lygtis — antrojo laipsnio daugianarė lygtis, jos išraiška:

$ax^2+bx+c=0\!$

Čia a, b, c – realieji skaičiai, $a \ne 0 \,\!.$

Pilnoji kvadratinė lygtis

Bendra forma:

$ax^2+bx+c=0\,$, kai $a \ne 0 \,\!,$ $b \ne 0 \,\!,$ $c \ne 0 \,\!.$

Sprendimas:

randame pagalbini skaičių – diskriminantą D:

$D=b^2-4ac\,$

Tada galimi trys atvejai:

• Jei $D > 0\,\!$ tai lygtis turi du skirtingus sprendinius:

  $\begin{align} x_{1,2} &= \frac{-b \pm \sqrt {D}}{2a} \\ \end{align}$

• Jei $D = 0\,\!$, tai lygtis turi vieną sprendinį:

$x = -\frac{b}{2a} . \,\!$

Pastaba: kartais sakoma, kad tokiu atveju lygtis turi du sutampančius sprendinius. Toks požiūris taikomas, pavyzdžiui, sprendžiant diferencialines lygtis.

• Jei $D < 0\,\!$, tai lygtis neturi sprendinių realiųjų skaičių aibėje. Tokios lygties sprendiniai yra du kompleksiniai skaičiai:

  $\begin{align} x_{1,2} &= \frac{-b}{2a} \pm i \frac{\sqrt {|D|}}{2a}\end{align}$

kur $\begin{align}i \end{align}$ yra menamasis vienetas

Kvadratines lygtis taip pat galima spręsti panaudojant Vijeto teoremą. Pagal ją, lygties sprendiniai gali būti randami iš lygčių sistemos $\begin{cases} x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\\ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \end{cases}$

Vijeto teoremą patogiausia naudoti, kai a=1.

Radus sprendinius, galioja lygybė $ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\,$

Nepilnoji kvadratinė lygtis

Bendra forma:

$ax^2=b\,$

Sprendimas:

$\begin{align} x^2 & =\frac{b}{a}\\ x_{1,2} & =\pm\sqrt\frac{b}{a} \end{align}$

Kvadratinė lygtis, kurios $c=0$

Bendra forma:

$ax^2+bx=0\,$

Sprendimas:

iškeliame x prieš skliaustus:

$x(ax+b)=0\,$

Tada iš sandaugos savybių išplaukia, kad

$\begin{align} x=0\qquad\operatorname{arba}\qquad ax &=-b\\ x &=-\frac{b}{a} \end{align}$

Taip pat skaitykite

• Kvadratinė funkcija
• Vijeto teorema