Kortevego–de Vryso lygtis

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Matematinėje fizikoje Kortevego–de Vryso (Korteweg – de Vries) (KdV) lygtis naudojama kaip matematinis modelis, apibūdinantis bangas, sklindančias seklaus vandens paviršiumi. Ji žinoma kaip tiksliai sprendžiamo netiesinio modelio pavyzdys, t. y. kaip netiesinė diferencialinė dalinių išvestinių lygtis, kurios sprendiniai gali būti pavaizduoti analiziniu būdu. Vienas iš šios lygties analizinių sprendinių yra solitonas. KdV lygtis yra viena išsamiausiai išnagrinėtų lygčių matematinėje fizikoje; ji gali būti išspręsta atvirkštinio sklaidos uždavinio metodu (ASUM). Matematinė KdV lygties teorija turininga ir įdomi, ji iki šiol aktyviai tiriama. Lygtis pavadinta Dyderiko Kortevego (Diederik Korteweg) ir Gustavo de Vryso (Gustav de Vries) vardais. Jie nagrinėjo šią lygtį 1895 metais [1], nors pirmą kartą šią lygtį paskelbė Džozefas Busineskas (Joseph Boussinesq) 1877 m. [2].

Apibrėžimas[taisyti | redaguoti kodą]

KdV lygtis – tai netiesinė diferencialinė dalinių išvestinių lygtis funkcijai dviejų realių kintamųjų - koordinatės _{\!x\!} ir laiko _{\,\!t\,\!}_{\phi\,\!=\,\!\phi(x, t)}:

\partial^{}_t \phi + 6\, \phi\, \partial^{}_x \phi + \partial^3_x \phi  =0,\,

(1)

čia _{\partial_x\,} ir _{\partial_t\,} – dalinės išvestinės _{\,\!x\,\!} ir _{\,\!t\,\!} atžvilgiu. KdV lygtis (1) – tai bedimensė išraiška lygties

\frac{\partial\eta}{\partial
t}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{g}{h}}\frac{\partial}{\partial x}\biggl(
\frac{2}{3}\alpha\eta+\frac{1}{2}\eta^2+\frac{1}{3}\sigma\frac{\partial^2\eta}{\partial
x^2 } \biggr),\,

(2)

apibūdinančios netiesinis bangos sklidimą seklaus vandens artėjime, čia {}_{\sigma=h^3\!/3-T h/(g\rho)}, h - kanalo gylis, α – konstanta, T – paviršinio įtempimo koeficientas, g – laisvojo kritimo pagreitis, ρ - vandens tankis.

KdV lygtis yra universalus modelis vienmatėms netiesinėms bangoms apibūdinti aplinkose su dispersijos dėsniu \omega = ak + bk^3 , tačiau be disipacijos.

Lygties (1) vidinio nario konstanta 6 yra sąlyginė: padauginęs _{\,\!t\,\!}, _{\,\!x\,\!} ir _{\,\!\phi\,\!} iš atitinkamų konstantų, galime prilyginti koeficientų reikšmes kiekviename iš narių bet kokioms iš anksto užduotoms nenuliniam reikšmėms. Pvz., nenormuota KdV lygtis su konstantomis a ir b

\partial^{}_\tau\varphi+a\varphi\partial^{}_x\varphi+b\partial_x^3\varphi=0,

(3)

atlikus pakeitimus

\varphi(x,\tau)=\frac{6b}{a}\phi(x,t),\quad t =b\tau,

(4)

įgauna kanoninę formą (1), pateiktą apibrėžime.

Sklindančios bangos sprendiniai[taisyti | redaguoti kodą]

Apžvelkime pastovaus profilio bangos, sklindančios į dešinę, sprendinius. Tokie sprendiniai atitinka funkciją _{\,\!\phi(x, t)=\phi(x-ct)\,\!}. Perėjimas KdV lygtyje prie naujo kintamojo _{\,\!\xi=x-ct\,\!} duoda paprastą diferencialinę lygtį

-c\frac{d\phi}{d\xi}+6\phi\frac{d\phi}{d\xi}+\frac{d^3\phi}{d\xi^3}=0,

(5)

arba, integruojant _{\,\!\xi\,\!},

3\phi^2+\frac{d^2\phi}{d\xi^2}-c\phi=A,

(6)

čia A – integravimo konstanta. Pastebėsime, kad interpretuodami nepriklausomąją kintamąją _{\,\!\xi\,\!}, kaip laiko kintamąją, matome, kad _{\,\!\phi=\phi(\xi)\,\!} turi tenkinti Niutono lygti, apibūdinančią dalelės judėjimą kubiniame potenciale. Lygties (6) sprendinį funkcijai _{\,\!\phi(\xi)\,\!} rasime dar kartą integruodami su daugikliu \phi^{'}_{\xi}:

{\phi'}^2=-2f(\phi),\quad
f(\phi)=\phi^3-\frac{c}{2}\phi^2-A\phi-B,

(7)

Funkciją _{\,\!f(\phi)\,\!} patogu pavaizduoti kaip _{\,\!f(\phi)=(\phi-\alpha)(\phi-\beta)(\phi-\gamma)\,\!} , čia _{\,\!\alpha,\beta,\gamma \,\!} _{\,\!(\alpha\ge\beta\ge\gamma)} yra realios kubinės lygties _{\,\!f(\phi)=0\,\!} šaknys:


\begin{cases}\alpha \beta \gamma=B,\\
\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=-A,\\
\alpha+  \beta+ \gamma=\frac{c}{2}
\end{cases}

(8)

Tuomet lygties (7) sprendinį galima pateikti neišreikšta forma,

\int\!\!\!\frac{d\phi}{\sqrt{2(\alpha-\phi)(\phi-\beta)(\phi-\gamma)}}=(x-ct)+C,

(9)

čia α, β, γ ir С – konstantos. Apžvelkime du svarbius atskirus atvejus, kai šios lygties sprendinius galima pateikti išreikšta forma: tai solitonas ir knoidalinė banga.

Solitonas – sklindančios bangos KdV lygties sprendinys [3]

\phi(x,t)=\frac{c}{2}{\rm ch}^{-2}\biggl[
\frac{\sqrt{c}}{2}(x-ct-a) \biggr],

(10)

Pav.1. Solitonas.

kuriame c/2 – solitono amplitudė ir a – jo centro padėtis – pastovūs dydžiai. Lygtyje (9) toks sprendinys atitinka atveją, kai _{\,\!\beta = \gamma = 0\,\!}, α =с/2. Toks solitonas yra sklindanti į dešinę pavienė banga. Būtent tokią bangą stebėjo Džonas Raselas (John Russell) 1834 metais [3] (pav. 1).






Knoidalinė banga – kitas periodinis ir reguliarus sklindančios bangos sprendinys

\phi(x,t)=A{\rm cn}^2[p(x-ct-a),k],

(11)

čia A=2kp^2, c=4(2k-1)p^2, priklausantis nuo pastovaus k < 1, kuriame cn(x, k)elipsinis Jakobi kosinusas [11][1] . Bangos periodas T išreiškiamas per pilna pirmos rūšies elipsinį integralą E(k):

T=\sqrt{\frac{8}{\alpha-\gamma}}E(k),\quad k^2=\frac{\alpha-\beta}{\alpha-\gamma},

(12)

bangos greitis, pagal (8),

\,\!c=2(\alpha+\beta+\gamma)\,\!.

(13)

Pav. 2. Parametrui _{\,\!k \rightarrow 1\,\!} knoidalinės bangos sprendinys pereina į solitoninį sprendinį.
Pav. 3. Parametrui _{\,\!k \rightarrow 0\,\!} knoidalinės bangos sprendinys pereina į harmoninę bangą.

Kaip ir solitono atveju, knoidalinės bangos amplitudė susieta su jos sklidimo greičiu: aukštesnes bangos sklinda greičiau. Kai _{\,\!k \rightarrow 1\,\!}, knoidalinės bangos sprendinys (9) pereina į solitoninį sprendinį (8) (pav.2), o kai _{\,\!k \rightarrow 0\,\!} – į paprastą harmoninę bangą (pav. 3).

Naudojant integralines ASUM lygtis, galima parodyti, kad laiptelio formos pradinis sužadinimas

\phi(x)=\left\{\begin{array}{ll} 0, &x > 0, \\ -c,&x\leq0, \end{array}\right.

laikui bėgant fronto aplinkoje suskyla į nesąveikaujančius solitonus, t. y. laipteliai suyra.

Bet koks pradinis sužadinimas, gęstantis begalybėje, kai _{\,\!x\rightarrow\pm\infty\,\!}, ir evoliucionuojantis pagal KdV lygtį, suskyla į keletą nesąveikaujančių solitonų, sklindančių į dešinę, ir į osciliuojantį ir gęstantį foną, sklindantį į kairę. Sprendinio savybės, kai _{\,\!t\rightarrow\infty\,\!}, visiškai nusakomos pradinėmis sąlygomis.

ASUM leidžia konstruoti begalinį tikslių sprendinių kiekį, pvz., 2-, 3-, …, N-solitoninius sprendinius. Sąveikaujantys solitonai panašūs į daleles: pavienės bangos gali pasivyti viena kitą arba susidurti viena su kita baigtiniame laiko intervale, tačiau po susidūrimo atgauna pradinę formą ir tęsia judėjimą nesąveikaudamos. Sąveikos proceso metu solitonai patiria tamprų susidūrimą, keičiantį jų centrų padėtis. Kiekvieno solitono pilnas poslinkis lygus poslinkių sumai poriniuose susidūrimuose (pav. 4).

Pav. 4. Du sąveikaujantys solitonai.[2]

KdV turi taip pat ir automodelinius sprendinius, kurie išreiškiami per Penleve lygčių sprendinius.

Konstruojant ir pertvarkant sprendinius, galima naudotis Beklundo transformacijomis, kas susieta su KdV lygties simetrijų savybėmis.

Tvermės dėsniai[taisyti | redaguoti kodą]

KdV lygtis turi begalinį tvermės dėsnių (judėjimo integralų) rinkinį [8]:

I_n=\int_{-\infty}^{+\infty}P_{2n-1}(\phi,\partial_x\phi,\partial^2_x\phi,...)\,dx,

(14)


čia P^{}_n – polinomas nuo funkcijos φ ir jos erdvinių išvestinių,

\begin{align}
&P_0=\phi,\\
&P_1=\phi^2,\\
&P_2=\phi^3-(\partial^{}_x \phi)^2/2,\end{align}
\begin{align}
&P_3=\big[\big(\partial^2_x\phi\big)^2+5\phi\partial_x\phi+5\phi^2\big]\big/2,\\
&\vdots\\
&P_n=-\frac{dP^{}_{n-1}}{dx}+\sum_{i=1}^{n-1}P^{}_iP^{}_{n-1-i},\quad n>1
\end{align}

(15)

Taigi, keletas pirmųjų tvermės dėsnių atrodo taip:


  • I_1=\int_{-\infty}^{+\infty} \phi \,dx\quad (mas\dot{e})
  • I_2=\int_{-\infty}^{+\infty} \phi^2\,dx \quad (impulsas)

(16)

  • I_3=\int_{-\infty}^{+\infty}\big[ \phi^3 - (\partial^{}_x\phi)^2/2
\big]\,dx\quad (energija)
  • \vdots

Deja, suteikti fizinę prasmę aukštesnių eilių tvermės dėsniams kol kas nepavyko.

Lakso poros[taisyti | redaguoti kodą]

ASUM pagrįstas KdV atvaizdavimu Lakso lygties pavidalu [7], būtent: KdV lygtis

\partial^{}_t\phi=6\phi\partial^{}_x\phi-\partial^3_x\phi

(17)

gali būti performuluota Lakso lygties (L-A poros) pavidalu:

\partial^{}_t L=[L,A]\equiv LA-AL,

(18)

čia L – Šrėdingerio (Schrödinger) operatorius – atskiras Šturmo–Liuvilio operatoriaus (Sturm–Liouville operator) atvejis:

\begin{align}
&L=-\partial^2_x+\phi,\\
&A=4\partial^3_x-3(\phi\partial^{}_x+\partial^{}_x\phi),
\end{align}

(19)

kas paaiškina begalinį KdV lygties tvermės dėsnių skaičių [7].

Iš lygčiu (18) ir (19) seka, kad sprendžiant dalelės sklaidos uždavinį, nežinomąją funkciją \phi(x,t) galima interpretuoti kaip atitinkamos Šrėdingerio lygties potencialą. Potencialus, neturinčius atspindžio, atitinka viena-, du - ir N-solitoniniai KdV lygties sprendiniai.

Periodinių pradinių sąlygų _{\,\!\phi(x)=\phi(x+T)\,\!} atveju atspindžiu neturinčiu potencialų analogu yra baigtiniai juostiniai potencialai, kuriems Šrėdingerio operatorius turi baigtinį draustinių juostų skaičių. Periodiniai ir beveik periodiniai baigtinių juostų potencialai yra stacionarūs aukštesniųjų KdV lygčių sprendiniai.

Lagranžianas[taisyti | redaguoti kodą]

KdV lygtis (1) yra Oilerio–Lagranžo lygtis (Euler–Lagrange equation) dinaminei sistemai su lagranžiano tankiu {\mathcal L}:

{\mathcal L}=\frac{1}{2}\partial^{}_x \psi \partial^{}_t \psi + (\partial^{}_x \psi)^3-\frac{1}{2}(\partial^2_x \psi)^2,

(20)

kur \phi=\partial^{}_x \psi .

Hamiltonianas ir integruojamumas[taisyti | redaguoti kodą]

Antra vertus, būtent Hamiltono judėjimo lygčių forma leido įrodyti kai kurių kitų KdV netiesinių lygčiu integruojamumą.

Pasinaudoję funkcine išvestine _{\,\!\delta/\delta\phi\,\!}, KdV lygtį galime užrašyti Hamiltono lygčių forma:

\partial^{}_t \phi=\partial^{}_x \frac{\delta H}{\delta \phi}, \quad
H(\phi)=\int_{-\infty}^{+\infty}\big[   \phi^{3} +\big(\partial^{}_x
\phi\big)^2/2 \big]\,dx,

(21)

iš kur seka, jog KdV yra hamiltoninė sistema su Hamiltono funkcija _{\,\!H(\phi)\,\!} ir Puasono (Poisson) skliaustais funkcijoms _{\,\!f=f(\phi)\,\!} ir _{\,\!g=g(\phi)\,\!}:

\{f,g\}=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\biggl( \frac{\delta
f }{\delta \phi} \frac{\partial}{\partial x}\frac{\partial
g}{\partial \phi}           -   \frac{\partial g}{\partial
\phi}\frac{\partial}{\partial x}\frac{\delta f }{\delta \phi}
\biggr)\,dx.

(22)

KdV lygties integruojamumas seka iš to, kad bet kuriems m ir n, I_m, I_n = 0, kas leidžia įvesti kintamuosius – veikimą bei kampą. Hamiltono lygčiu forma (21) nėra vienintelė galima: specialiai parinkus Puasono skliaustus, bet koks iš tvermės dėsnių I_n gali būti Hamiltono funkcija.

Aukštesniosios KdV lygtys, τ-funkcija ir KdV hierarchija[taisyti | redaguoti kodą]

Be klasikinės KdV lygties (1), galima nagrinėti aukštesnių erdvinių išvestinių lygtis. Esant pastoviems Puasono skliaustams ir laikant Hamiltono funkciją aukštesnės eilės tvermės integralu I_n, gauname vadinamąsias aukštesniąsias KdV lygtis – 5-osios, 7-osios, 9-osios ir aukštesniųjų eilių. Kiekviena šių lygčių taip pat pilnai integruojama ir turi analizinius sprendinius.

Kadangi visos KdV^{2n+1} turi tą pačią judėjimo integralų sistemą, kyla natūrali mintis vietoje kiekvienos atskiros KdV lygties išnagrinėti visą jų begalinį rinkinį – vadinamąją KdV hierarchiją.

Detaliau:

tebūnie Lakso operatorius tokios formos:

L=\frac{\varepsilon^2}{2}\partial^2_x + \phi,

(23)

čia funkcija \,\!\phi\,\! priklauso nuo begalinių laikų t_n, n=0,1,2,... rinkinio ir parametro \varepsilon:\phi=\phi(x,t_0,t_1,t_2,...,\varepsilon). Kiekvienam laikui t_n priskirkime savąjį hamiltonianą H_n:

\begin{align}
&H_0=\varepsilon \partial_x,\\
&H_1=\frac{\varepsilon^3}{3}\partial^3_x
+\frac{\varepsilon}{2}\phi\partial_x+\frac{\varepsilon}{2}\partial_x\phi,\\
&\vdots\\
&H_n=\frac{2^{2n+1/2}}{(2n+1)!!}(L^{2n+1/2})_+,\\
&\vdots
\end{align}

(24)

čia «+» reiškia neneigiamą operatoriaus L trupmeninio laipsnio dalį. Tada n-ąją KdV hierarchijos lygtį galime užrašyti taip:

\varepsilon{\partial_{t_n}} L=[H_n, L]

(25)

kai

\begin{align}
&n=0:\quad{\phi_{t_0}}=\partial_x\phi,\\
&n=1:\quad{\phi_{t_1}}=\phi\partial_x\phi+\frac{\varepsilon^2}{12}\partial^3_x\phi,\\
&n=2:\quad{\phi_{t_2}}=\frac{1}{2}\phi^2 \partial_x \phi
+\frac{\varepsilon^3}{12}(2\partial_x\phi\partial_x^2\phi+\phi\partial^3_x\phi)+\frac{\varepsilon^4}{240}\partial^5_x\phi.\\
&\vdots
\end{align}

Pirmoji šioje hierarchijoje (n=1) yra KdV lygtis. Ši lygtis duoda pavadinimą visai hierarchijai. Aukštesnių eilių hamiltonianai atitinka aukštesnių eilių KdV lygtis. Lygties (25) sprendiniai gali būti paskleisti parametro \varepsilon eilute:

\phi=\phi_0+\varepsilon^2\phi_1+\varepsilon^4\phi_2+\cdots

(26)

ir išreikšti per \tau-funkciją:

\phi=\varepsilon^2\partial^2_x\log\tau,

(27)

čia \,\!\tau=\tau\,\! \,\!(x,\,\! \,\!t_0,\,\! \,\!t_1,\,\! \,\!t_2,\,\! \,\!...)\,\!.

Istorija[taisyti | redaguoti kodą]

KdV lygties istorija prasidėjo nuo Džono Skoto Raselo (John Scott Russell) 1834 metų eksperimentų (pav. 5), kurie stimuliavo teorinius lordo Relėjaus (Lord Rayleigh) ir Džozefo Businesko (Joseph Boussinesq) (maždaug 1870 metais) ir pagaliau Kortevego bei de Vryso (1895 m.) tyrimus [3].

pav. 5 Solitoninės bangos sužadinimas ir sklidimas.[3]

Po to KdV lygtis buvo beveik nenagrinėjama, kol Zabusky (Zabusky) ir Kruskalas (Kruskal) 1965 m. skaitmeniniuose eksperimentuose pastebėjo, kad asimptotiniai KdV lygties sprendiniai suskyla į „solitonu“ rinkinį – aiškiai išreikštas atskiras pavienes bangas [10]. Be to, solitonai, praktiškai nekeisdami formos, pereina vienas per kitą (nors tai gali pakeisti jų padėtį). Jie taip pat pastebėjo sąryšį tarp KdV lygties ir anksčiau atliktų skaitmeninių Fermi (Fermi), Pastos (Pasta) ir Ulamo (Ulam) eksperimentų. Analizinis KdV lygties sprendinys, pasinaudojus ASUM, buvo rastas Gardnerio (Gardner), Grino (Greene) ir Miuros (Miura) 1967 m. [8].

Taikymai ir sąryšiai[taisyti | redaguoti kodą]

KdV lygties sąryšis su kitomis matematinėmis, fizinėmis ir kitų gamtos mokslų problemomis pakankamai gausus ir turiningas. Be jau minėto sąryšio tarp vienmačių ilgų bangų KdV lygties sprendinių ir Fermi–Pastos–Ulamo skaitmeninių eksperimentų vienmatėse grandinėse esant netiesinei sąveikai, KdV lygtis apibūdina

  • magneto - akustines ir jonines - akustines bangas plazmoje
  • akustines bangas kristalo gardelėje
  • paviršines ir vidines bangas vandenyne.

KdV variacijos[taisyti | redaguoti kodą]

Yra daugybė KdV lygties variacijų. Kai kurios pateiktos lentelėje:

Pavadinimas Lygtis
Kortevego–de Vryso (KdV) \displaystyle \partial_t\phi+6\phi\partial_x\phi+\partial^3_x\phi=0
Cilindrinė KdV \displaystyle \partial_t u + \partial_x^3 u - 6\, u\, \partial_x u +  u/2t = 0
Deformuota KdV \displaystyle \partial_t u + \partial_x (\partial_x^2 u - 2\, \eta\, u^3 - 3\, u\, (\partial_x u)^2/2(\eta+u^2)) = 0
Apibendrinta KdV \displaystyle \partial_t u + \partial_x^3 u = \partial_x^5 u
Modifikuota KdV \displaystyle \partial_t u + \partial_x^3 u \pm 6\, u^2\, \partial_x u  = 0
Dukart modifikuota KdV \displaystyle  \partial_t u +  \partial_x^3 u - (\partial_x u)^3/8 + (\partial_x u)(Ae^{au}+B+Ce^{-au}) = 0
Sferinė KdV \displaystyle \partial_t u + \partial_x^3 u - 6\, u\, \partial_x u + u/t = 0
Super-KdV \displaystyle \partial_t u = 6\, u\, \partial_x u - \partial_x^3 u + 3\, w\, \partial_x^2 w,

\displaystyle \partial_t w = 3\, (\partial_x u)\, w + 6\, u\, \partial_x w - 4\, \partial_x^3 w

Pereinamoji KdV \displaystyle \partial_t u + \partial_x^3 u - 6\, f(t)\, u\, \partial_x u  = 0
Kintamųjų koeficientų KdV \displaystyle \partial_t u + \beta\, t^n\, \partial_x^3 u + \alpha\, t^nu\, \partial_x u=  0
Biurgerso-KdV lygtis \displaystyle \partial_t u + \mu\, \partial_x^3 u + 2\, u\, \partial_x u -\nu\, \partial_x^2 u = 0

Disipacinėse aplinkose reikia nagrinėti KdV lygties modifikacijas, pvz., Biurgerso–KdV lygtį:

\partial_t\phi+6\phi\partial_x\phi+\partial^3_x\phi=\nu\partial^2_x\phi.

(28)

Tačiau disipacijos įtaka šiuo atveju sugriauna integruojamumą ir, nors lygtis turi keletą specialių sprendinių, analiziniai metodai, pvz., ASUM, šiai lygčiai netaikytini. Stacionarūs Biurgerso–KdV lygties sprendiniai apibūdina smūginių bangų struktūrą dispersinėse terpėse, įskaitant nesusiduriančių bangų plazmą.

Dvimačiu KdV lygties apibendrinimu yra Kadomcevo–Petviašvili (Kadomtsev–Petviashvili) lygtis [9].

Papildoma informacija[taisyti | redaguoti kodą]

Pastabos[taisyti | redaguoti kodą]

Pastebėsime, kad dispersinis linearizuotas KdV lygties sąryšis \omega = ak + bk^3 atitinka dispersijos dėsnį, būdingą seklaus vandens artėjimui. Gilaus vandens artėjimui būdingas dispersinis sąryšis \omega^2=gk[1+(kA)^2] (žr. Dispersija (paviršinės vandens bangos)). Tai reiškia, kad gilaus vandens artėjime pavienės bangos evoliucinė lygtis skiriasi nuo KdV lygties, ir sklidimo metu keičiasi ne tik pavienės bangos profilis, bet ir jos evoliucinė lygtis.

Nuorodos[taisyti | redaguoti kodą]

  1. Pastebėsime, kad elipsinių Jakobi funkcijų modulis vienuose žinynuose, pvz., populiariame pakete „Mathematica“, žymimas k, o kituose, pvz., [11] – k^2.
  2. Two soliton solution of the KdV equation.
  3. John Russell’s wave.

Literatūra[taisyti | redaguoti kodą]

[1] Korteweg, D. J. & de Vries, G. (1895), "On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal, and on a New Type of Long Stationary Waves", Philosophical Magazine 39: 422–443 

[2] Boussinesq, J. (1877), Essai sur la theorie des eaux courantes, Memoires presentes par divers savants ` l’Acad. des Sci. Inst. Nat. France, XXIII, p. 1–680 

[3] Drazin, P. G. (1983), Solitons, London Mathematical Society Lecture Note Series, 85, Cambridge: Cambridge University Press, pp. viii+136, MR0716135, ISBN 0-521-27422-2

[4] de Jager, E.M., On the Origin of the Korteweg–de Vries Equation, arΧiv:math/0602661

[5] Dingemans, M.W. (1997), Water wave propagation over uneven bottoms, Advanced Series on Ocean Engineering, 13, World Scientific, Singapore, ISBN 981 02 0427 2 , 2 Parts, 967 pages

[6] Kappeler, Thomas; Pöschel, Jürgen (2003), KdV & KAM, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. A Series of Modern Surveys in Mathematics [Results in Mathematics and Related Areas. 3rd Series. A Series of Modern Surveys in Mathematics], 45, Berlin, New York: Springer-Verlag, MR1997070, ISBN 978-3-540-02234-3

[7] Lax, P. (1968), "Integrals of nonlinear equations of evolution and solitary waves", Comm. Pure Applied Math. 21: 467-490, doi:10.1002/cpa.3160210503

[8] Miura, Robert M.; Gardner, Clifford S.; Kruskal, Martin D. (1968), "Korteweg - de Vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion", J. Mathematical Phys. 9: 1204–1209, doi:10.1063/1.1664701, MR0252826

[9] Takhtadzhyan, L.A. (2001), "Korteweg – de Vries equation", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4

[10] Zabusky, N. J.; Kruskal, M. D. (1965), "Interaction of "Solitons" in a Collisionless Plasma and the Recurrence of Initial States", Phys. Rev. Lett. 15: 240–243, doi:10.1103/PhysRevLett.15.240, http://link.aps.org/abstract/PRL/v15/p240

[11] Janke. E.; Emde F.; Lösch F. (1960) „Tafeln höherer functionen“. B. G. Teubner Verlag, Stutgart.

Informacija internete[taisyti | redaguoti kodą]