Integravimas dalimis

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką
 Edit-copy purple.svg  Buvo pasiūlyta šį straipsnį ar skyrių, kaip parašytą vadovėlio stiliumi, perkelti į Vikiknygas.
Taip pat galite šį straipsnį pritaikyti Vikipedijai - perrašyti enciklopediniu stiliumi.

Tarkime, kad funkcijos u(x) ir v(x) turi tolydžias išvestines. Tada:

\int u(x) v'(x) \mathsf{d}x = u(x)v(x) - \int v(x) u'(x) \mathsf{d}x.

Lygtis nesunkiai įrodoma prisiminus sandaugos diferenciavimo taisyklę:

 \int \mathsf{d}(uv) = uv,
 \int u \mathsf{d}v + \int v \mathsf{d}u = uv,
 \int u \mathsf{d}v = uv - \int v \mathsf{d}u.

Pavyzdžiai[taisyti | redaguoti kodą]

  • \int x \mathsf{e}^x \mathsf{d}x = x\mathsf{e}^x - \int \mathsf{e}^x \mathsf{d}x = x\mathsf{e}^x - \mathsf{e}^x + C.

Čia  u(x) = x , o v'(x) = e^x .

  • \int  x^n \ln x \mathsf{d}x.

u = ln x, u'=(ln x)'=1/x, v= \int x^n \mathsf{d}x =\frac{x^{n+1}}{n+1}, v'=(\frac{x^{n+1}}{n+1})'=x^n.

\int \ln(x) x^n \mathsf{d}x=\ln x \frac{x^{n+1}}{n+1}-\int \frac{x^{n+1}}{n+1} \frac{1}{x} \mathsf{d}x=\ln x \frac{x^{n+1}}{n+1}-\frac{1}{n+1}\int x^n \mathsf{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}(\ln x -\frac{1}{n+1})+C.
  • \int x \sin x dx.

u=x, dv=sin(x) dx, du=dx, v=\int \sin x dx=-\cos x.

\int u dv=uv-\int v du=-x\cos x-\int -\cos x dx=-x\cos x+\sin x+C.
  • \int \arcsin x dx.

u=arcsin(x); dv=dx; du=\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}; v=x.

x\arcsin x-\int \frac{x dx}{\sqrt{1-x^2}}=x\arcsin x+\int \frac{ d(1-x^2)}{2\sqrt{1-x^2}}=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C.
  • \int x \ln x dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\int \frac{x^2}{2}\frac{1}{x} dx=\frac{x^2}{2}\ln x-\frac{x^2}{4}+C,

kur u=ln(x); dv=x dx; du=1/x dx; v=\int x dx=\frac{x^2}{2}.

  • \int \ln x dx=x\ln x-\int x \frac{dx}{x}=x\ln x-x+C,

kur u=ln(x); dv=dx; du=1/x dx; v=x.

  • \int \arctan x dx=x\arctan x-\int \frac{x dx}{1+x^2}=x\arctan x-\frac{1}{2}\int \frac{d(1+x^2)}{1+x^2}=x\arctan x-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C

kur u=arctg(x); dv=dx; du=\frac{1}{1+x^2} dx; v=x.

  • \int x^2 e^x dx=x^2 e^x-2\int x e^x dx=x^2 e^x-2 (x-1) e^x + 2C_1=e^x (x^2-2x+2)+2C_1,

kur u=x^2; dv=e^x dx; du=2x dx; v=e^x; \int x e^x dx=xe^x-\int x' e^x dx =xe^x-e^x+C_1.

  • I=\int e^x \sin x dx.

u=e^x, dv=sin(x)dx; du=e^x dx, v=\int \sin x dx=-\cos x;

I=-e^x \cos x+\int e^x \cos x dx.

Dar kartą integruojame dalimis. u=e^x, dv=cos(x)dx; du=e^x dx, v=\int \cos x dx=\sin x;

I=-e^x \cos x+e^x\sin x-\int e^x \sin x dx.

Turime, kad I=e^x (\sin x-\cos x)-I. Vadinasi 2I=e^x (\sin x-\cos x), tai I=\frac{1}{2} e^x (\sin x-\cos x)+C.

  • \int 8x^3\ln x dx=8(\frac{x^4}{4}\ln x-\int \frac{x^4}{4}\cdot\frac{1}{x}dx)=x^4(2\ln x-\frac{1}{2})+C, kur u=\ln x; v'=x^3; u'=\frac{1}{x}; v=\frac{x^4}{4}.
  • \int x^5\cos x^3 dx, kur dt=d(x^3)=3x^2 dx; dx=\frac{dt}{3x^2};

\int x^5\cos x^3 dx=\int x^5\cos x^3 \frac{d(x^3)}{3x^2}=\frac{1}{3}\int x^3\cos x^3 d(x^3)=\frac{1}{3}\int t\cos t dt=\frac{1}{3}(t\sin t -\int \sin t dt)= =\frac{1}{3}(t\sin t +\cos t) +C=\frac{1}{3}(x^3\sin x^3 +\cos x^3) +C, kur v'=\cos t; u=t; v=\sin t; u'=1.

  • \int\arctan x \;dx=x\arctan x-\int{x\;dx\over 1+x^2}=x\arctan x-{1\over 2}\int{d(1+x^2)\over 1+x^2}=

=x\arctan x-{1\over 2}\ln|1+x^2|+C, kur u=\arctan x; dv=dx; du={dx\over 1+x^2}; v= x; d(1+x^2)=2x dx.

Taip pat skaitykite[taisyti | redaguoti kodą]