Furjė eilutė

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką
Furjė eilutės konvergavimas

Matematikoje Furjė eilutė yra periodinių funkcijos vaizdavimas kaip tokio pavidalo periodinių funkcijų suma;

x\mapsto e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),

kurios yra ei x harmonikos. Pagal Eulerio formulę, eilutė gali būti atitinkamai išreikšta trigonomentinėmis (sin, cos) funkcijomis.

Šios eilutės pavadintos prancūzų matematiko Žano Baptisto Furjė vardu. Furjė pirmasis sistemingai tyrė begalines eilutes, prieš tai tirtas Eulerio, Dalambero ir Danielio Bernulio. Furjė šias eilutes panaudojo šilumos lygties sprendime, kurio pirmuosius rezultatus paskelbė 1807 ir 1811, o 1822 metais išleido Théorie analytique de la chaleur. Vėliau Furjė rezultatus patikslino ir formalizavo Dirichlė ir Rymanas.

Furjė eilučių apibrėžimas[taisyti | redaguoti kodą]

Tarkime, jog f(x), kompleksinių reikšmių realiųjų argumentų funkcija, yra periodinė su 2π periodu, taip pat jos absoliučios reikšmės kvadrato integralas intervale nuo 0 iki 2π yra baigtinis. Apsibrėžiame

F_n =\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\,e^{-inx}\,dx=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)(\cos(nx)-i\sin(nx))\,dx.

Tada f(x) vaizduojamas Furjė eilute:

f(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \,e^{inx}.

Specialiu atveju, kai f(x) reikšmės yra realieji skaičiai, galima keisti

e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx) \,\!

ekvivalenčiu f(x) vaizdavimu kaip begalinę tiesinę funkcijų \cos(nx) \,\! ir \sin(nx) \,\! kombinaciją:

f(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{n=1}^\infty\left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right], kur
a_0 = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)dx


a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos(nx)\,dx


b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin(nx)\,dx


kas atitinka F_n = (a_n - i b_n) / 2 \,\! ir F_n = F_{-n}^*.

Taikymas[taisyti | redaguoti kodą]

Furjė eilutės gali būti naudojamos aprašyti bet kokios formos realių šaltinių determinuotus virpesius, kadangi jie tenkina Dirichlė sąlygas.[1]

Šaltiniai[taisyti | redaguoti kodą]

  1. Kajackas, Algimantas. Telekomunikacijų teorija. Vilnius: Technika, 2009, 17 p. ISBN 978-9986-05-833-5.

Nuorodos[taisyti | redaguoti kodą]