Diskrečioji Furjė transformacija

Ryšys tarp tolydžios ir diskrečios Furjė transformacijos. Kairysis stulpelis: Tolydi funkcija (viršuje) ir jos Furjė transformacija (apačioje). Vidurinis kairysis stulpelis: Periodinė pradinės funkcijos suma (viršuje). Furjė transformacija (apačioje) yra nulis, išskyrus diskrečius taškus. Atvirkštinė transformacija yra sinusoidžių suma – Furjė eilutė. Vidurinis dešinysis stulpelis: Pradinė funkcija yra diskretizuojama (viršuje). Jos Furjė transformacija (apačioje) yra periodinė pradinės transformacijos diskretaus laiko Furjė transformacijos (DFFT) suma. Dešinysis stulpelis: DFT (apačioje) suskaičiuoja ėminius tolydžiosios DFTF. DFT (viršuje) yra periodinė pradinių ėminių suma. Greitoji Furjė transformacija suskaičiuoja vieną DFT ciklą ir jos atvirkštinė yra DFT atvirkštinės ciklas.

Diskrečioji Furjė transformacija (sutrumpintai DFT) – matematinė transformacija, skirta baigtinio ilgio diskrečių signalų Furjė analizei.

Diskrečioji Furjė transformacija seką (signalą) iš N kompleksinių skaičių x₀, …, x_N−1 transformuoja į kompleksinių skaičių seką X₀, …, X_N−1 pagal formulę:

$X_{k}=\sum _{n=0}^{N-1}x_{n}e^{-{\frac {2\pi i}{N}}kn}\quad \quad k=0,\dots ,N-1.$

Čia e yra natūrinio logaritmo pagrindas, $i\,$ – menamasis vienetas, o π – pi. Transformacija kartais žymima ${\mathcal {F}}$, pavyzdžiui, $\mathbf {X} ={\mathcal {F}}\left\{\mathbf {x} \right\}$ arba ${\mathcal {F}}\left(\mathbf {x} \right)$ or ${\mathcal {F}}\mathbf {x}$.

Apibrėžiama ir atvirkštinė diskrečioji Furjė transformacija (sutrumpintai ADFT):

$x_{n}={\frac {1}{N}}\sum _{k=0}^{N-1}X_{k}e^{{\frac {2\pi i}{N}}kn}\quad \quad n=0,\dots ,N-1.$