Darbu sumos

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Darbu (Darboux) sumos – dvi sąvokos naudojamos apibrėžiant Rymano integralą. Šiomis sumomis apibrėžiamas ir Darbu integralas. Sąvokas pirmą kartą panaudojo Žanas Gastonas Darbu.

Apatinė Darbu suma[taisyti | redaguoti kodą]

Geometrinė apatinės Darbu sumos interpretacija.

Tegul funkcija f(x) apibrėžta intervale [a; b]. Suskaidome šį intervalą tokiu būdu:

a = x_0 < x_1 < \dots < x_{n-1} < x_n = b

Gautų intervalų ilgius žymėsime \delta x_i=x_i-x_{i-1} . Jų iš viso yra n. Ilgiausio gabaliuko ilgį žymėsime \Delta.

Tokį intervalo skaidinį vadinsime T. Apibrėžiame tokius taškus:

m_i = \inf_{[x_{i-1}; x_i]} f(x)

T.y. kiekviename intervalo skaidinio gabaliuke surandame mažiausią funkcijos reikšmę. Sudarome tokią sumą:

 s(T) = \sum_{i = 1}^{n} m_i \Delta x_i .

Šią sumą ir vadinsime apatine Darbu suma, ji yra intervalo skaidinio T funkcija, t. y. ji priklauso nuo to, kokiu būdu skaidome intervalą [a; b]. Geometrinė apatinės Darbu sumos prasmė yra stačiakampių, besiremiančių į kreivinę trapeciją iš apačios, plotų suma. Šių stačiakampių pločiai priklauso nuo to, kaip skaidome intervalą, t. y. nuo T.

Viršutinė Darbu suma[taisyti | redaguoti kodą]

Geometrinė viršutinės Darbu sumos interpretacija.

Viršutinę Darbu sumą apibrėžiame labai panašiai. Intervalą [a; b] skaidome tokiu pat būtų ir pasirenkame tokius taškus:

M_i = \sup_{[x_{i-1}; x_i]} f(x)

T.y. didžiausias funkcijos reikšmes kiekviename intervalo gabaliuke. Analogiškai sudarome sumą:

 S(T) = \sum_{mn = 1}^{n} M_i \Delta x_i .

Ši suma irgi priklauso nuo intervalo skaidymo būdo T. Geometriškai ji yra kreivinę trapeciją iš viršaus ribojančių stačiakampių plotų suma.

Darbu sumų savybės[taisyti | redaguoti kodą]

Abi Darbu sumos pasižymi tokiomis savybėmis:

  • S(T_1) \geq s(T_2) \; \forall T_1, T_2 , t. y., kad ir kaip beskaidytume intervalą, viršutinė suma visada bus ne mažesnė už apatinę.
  • Pridėjus naujus skaidymo taškus prie esamo skaidinio, apatinė Darbu suma gali tik padidėti, o viršutinė – tik sumažėti.

Šios savybės yra akivaizdžios geometriškai.

Apibrėžiami ir tokie dydžiai:

 \underline{I} = \sup_T s(T) – didžiausia įmanoma apatinė Darbu suma.
 \overline{I} = \inf_T S(T) – mažiausia įmanoma viršutinė Darbu suma.

Šie dydžiai pasižymi tokiomis savybėmis:

  •  \underline{I} \leq \overline{I}
  •  \lim_{\Delta \rightarrow 0} s(T) = \underline{I} ir  \lim_{\Delta \rightarrow 0} S(T) = \overline{I} , t. y. gabaliukų ilgiams be galo mažėjant, atitinkamos sumos pasiekia savo mažiausią ir didžiausią įmanomas vertes.

Paskutinė savybė dar vadinama Darbu lema.