Aritmetinė progresija

Straipsnis iš Vikipedijos, laisvosios enciklopedijos.
Peršokti į: navigaciją, paiešką

Matematikoje aritmetinė progresija – tai tokia skaičių seka, kai skirtumas tarp šalia esančių narių yra pastovus. Pavyzdžiui, seka 5, 7, 9, 11, 13, 15 … yra aritmetinė progresija, kurios skirtumas yra 2.

Jei pirmasis progresijos narys yra a_1, o skirtumas tarp šalia esančių narių lygus d, tai n-tąjį progresijos narį (a_n) galima apskačiuoti pagal formulę:

\ a_n = a_1 + (n - 1)d,

o bendruoju atveju pagal formulę:

\ a_n = a_m + (n - m)d.

Aritmetinė progresija, turinti ribotą kiekį narių, kartais dar vadinama baigtine aritmetine progresija. Tokios progresijos narių suma vadinama aritmetine skaičių eilute.

Aritmetinės funkcijos savybės priklauso nuo skirtumo d. Jei skirtumas yra

  • Teigiamas, nariai didėja teigiamos begalybės link (didėjanti).
  • Neigiamas, nariai didėja neigiamos begalybės link (mažėjanti).

Suma[taisyti | redaguoti kodą]

Baigtinės aritmetinės progresijos narių suma yra vadinama skaičių eilute. Ši progresijos suma

2 + 5 + 8 + 11 + 14

gali būti lengvai apskaičiuojama pagal formulę

\frac{n(a_1 + a_n)}{2},

kur n – sudedamų narių skaičius, o a_1 + a_n – pirmojo ir ntojo narių suma. Taigi pateiktos skaičių eilutės radimas:

2 + 5 + 8 + 11 + 14 = \frac{5(2 + 14)}{2} = \frac{5 \cdot 16}{2} = 40.

Išvedimas[taisyti | redaguoti kodą]

Tam, kad išvestume aukščiau pateiktą formulę, reikia parašyti progresijos sumą dviem skirtingais būdais:

 S_n=a_1+(a_1+d)+(a_1+2d)+\cdots+(a_1+(n-2)d)+(a_1+(n-1)d)
 S_n=(a_n-(n-1)d)+(a_n-(n-2)d)+\cdots+(a_n-2d)+(a_n-d)+a_n.

Sudėjus abi puses gaunma lygybė:

\ 2S_n=n(a_1 + a_n).

Abi puses padalijus iš 2, gaunama įprasta formulės išraiška:

 S_n=\frac{n(a_1 + a_n)}{2}.

Kitas formulės variantas gaunamas į lygybę įstačiusn-tojo nario formulę a_n = a_1 + (n-1)d:

 S_n=\frac{n(2a_1 + (n-1)d)}{2}.

Skaičių eiltės vidurkio radimas per formulę S_n / n:

 \overline{n} =\frac{a_1 + a_n}{2}.

499 m. pr. Kr. žymus matematikas ir astronomas Aryabhata iš klasikinės Indijos matematikos ir astronomijos eros šį metodą pateikė savo veikale Aryabhatiya (2.18 skyrius).