Aptarimas:Trikampis

Nesklandumai su Herono formule

Ar herono formule taikoma tik statiems trikampiams ar visiems? Mano manymu visiems, bet stai reikia apskaiciuoti tokio trikampio plota: a=4, b=4, c=4. Pagal herono formule pusperimetris p=(4+4+4)/2=6. $S={\sqrt {6(6-4)*3}}={\sqrt {36}}=6$. O skaiciuojant taikant pagrinda ir aukstine $h=2{\sqrt {3}}$, gaunas taip, $S={1 \over 2}\cdot ah={1 \over 2}\cdot 4\cdot 2{\sqrt {3}}=4{\sqrt {3}}\approx 6,9282.$ Aukstine h gera, nes ji kerta krastine a per puse ir todel $c={\sqrt {d^{2}+h^{2}}}={\sqrt {2^{2}+(2{\sqrt {3}})^{2}}}={\sqrt {4+4\cdot 3}}={\sqrt {16}}=4.$ Arba kitaip patikrint kam lygi aukstine: $h={\sqrt {4^{2}-2^{2}}}={\sqrt {16-4}}={\sqrt {12}}=2{\sqrt {3}}.$ -- šis nepasirašytas komentaras buvo paliktas naudotojo 212.59.24.214 (aptarimas • indėlis) 20:43, 14 vasario 2010 (EET)

Pasižiūrėkim į formulę:

$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}.\;$

Įstatome reikšmes:

$S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}={\sqrt {6(6-4)(6-4)(6-4)}}={\sqrt {6\cdot 2\cdot 2\cdot 2}}={\sqrt {48}}={\sqrt {16\cdot 3}}=4\cdot {\sqrt {3}}.\;$

Viskas taip, kaip ir turi būti. --Martynas Patasius 21:02, 14 vasario 2010 (EET)

h*h nelygu a*b

Is straipsnio:

Statusis trikampis ir jo elementai

Jeigu trikampis yra status, tai jam galioja tokia taisyklė. Aukštinė, pakelta kvadratu, padalinusi trikampio pagrindą į dvi dalis yra lygi tų dviejų dalių sandaugai.

$h_{c}^{2}=a_{c}\cdot b_{c}.$

Pavyzdžiui, grafiškai galima nubrėžti statų trikampį, kurio statiniai $a=3$, $b=4$, o įžambinė $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}=5$. Išmatavus aukštine ir padalintos ižambinės atkarpas, gaunamos apytikslės reikšmės: $h_{c}=2,4$; $a_{c}=1,9$; $b_{c}=3,1$. Tuomet $h_{c}^{2}=2.4^{2}=5.76$ ir $a_{c}\cdot b_{c}=1.9\cdot 3.1=5.89$, formulės teisingumas grafiniu budu apytiksliai įrodytas t.y. $5,76\approx 5,89$.

Kitas pavyzdis, kuris paneigia šią formulę:

Nubraižytas statusis trikampis su statiniais: a=3; b=10 ir izambine c$\approx 10.44$. Pagal pitagoro teoremą $c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={3^{2}+10^{2}}={\sqrt {109}}=10.44030651$. Ismatavus nuleista aukstine gaunama jos reiksme $h_{c}\approx 2.9$, o tu daliu i kurias aukstine padailno izambinę c ilgiai yra: $a_{c}\approx 1.0$; $b_{c}\approx 9.4$. 2.9*2.9=8.41, o 9.44*1=9.44 ar net 9.4*0.9=8.46, na nebent si formule tinka labai apytiksliam skaiciavimui, vis tiek ji gali buti teisinga (del truputi klaidingo braizymo). Net 0.88*9.56=8.4128 (9.56+0.88=10.44), o 2.915*2.915=8.497225. Arba 0.9*9.54=8.586, o 2.93*2.93=8.5849.

Si formule taikoma straipsnyje is nuorodu "Herono formules irodymas taikant trigonometrija ir kampus", todel tas irodymas su kampais ir kuris tik tinka vienam vieninteliam trikampiui, irgi kelia abejoniu.

Herono formulės įrodymas taikant trigonometriją ir kampus

Be to is pradiniu grafiko reiksmiu:

$3=a={\sqrt {a_{c}^{2}+h_{c}^{2}}}\approx {\sqrt {1^{2}+2.9^{2}}}=3.06757233$;

$10=b={\sqrt {b_{c}^{2}+h_{c}^{2}}}\approx {\sqrt {9.4403^{2}+2.9^{2}}}\approx 9.87569$.

Tarkim dabar pabandau gauti reikšmes, kurios geriausiai atitinka ir pitagoro teoremą ir grafiką. Tuomet 0.92*9.52=8.7584 (0.92+9.52=10.44), o 2.959*2.959=8.755681.

$3=a={\sqrt {a_{c}^{2}+h_{c}^{2}}}\approx {\sqrt {2.959^{2}+0.92^{2}}}={\sqrt {9.602081}}=3.098722479$;

$10=b={\sqrt {b_{c}^{2}+h_{c}^{2}}}\approx {\sqrt {9.52^{2}+2.959^{2}}}={\sqrt {99.386081}}\approx 9.969256793$.

Kai a=b=10, tuomet irodyti labai lengva. Izambine $c={\sqrt {10^{2}+10^{2}}}={\sqrt {200}}=14.14213562$. Tuomet $a_{c}=b_{c}=c/2=7.071067812$. Ir tuomet $h_{c}={\sqrt {a^{2}-a_{c}^{2}}}={\sqrt {10^{2}-7.071067812^{2}}}={\sqrt {100-50}}=7.071067812$. Ir irodyta $h_{c}^{2}=a_{c}\cdot b_{c}$.

Dar toks apytikslis irodymas. Tarkim a=1, o b=100, tuomet $c={\sqrt {1+100^{2}}}={\sqrt {10001}}=100.0049999$. IS karto matosi, kad aukstine $h_{c}\approx 1$. Tuomet $a_{c}\approx {1 \over 100.0049999}\approx 0.0099995$. Tuomet $b_{c}=c-a_{c}=100.0049999-0.0099995=99.99500038$. Tuomet $h_{c}^{2}\approx 1.0^{2}=1$. Ir $a_{c}\cdot b_{c}=0.0099995\cdot 99.99500038=0.999900006$. Teorema irodyta.

Be to pagal pitagoro teorema, $a={\sqrt {a_{c}^{2}+h_{c}^{2}}}={\sqrt {0.0099995^{2}+1^{2}}}={\sqrt {0.00009999+1}}=1.000049994$, kas labai arti reiksmes a=1.

Ir Pagal Pitagoro teorema, $b={\sqrt {b_{c}^{2}+h_{c}^{2}}}={\sqrt {99.99500038^{2}+1^{2}}}={\sqrt {9999.000101+1}}={\sqrt {10000.0001}}=100.0000005$.

Dar toks kitas apytikslis irodymas. Tarkim kai a=7, o b=500, tuomet $c={\sqrt {7^{2}+500^{2}}}={\sqrt {250049}}=500.048997599$. Is karto matosi, kad aukstine $h_{c}\approx 7$. Tuomet $a_{c}\approx {h_{c}^{2} \over c}\approx {49 \over 500.048997599}\approx 0.0979903974$. Tuomet $b_{c}=c-a_{c}=500.048997599-0.0979903974=499.951007201835$. Tuomet $h_{c}^{2}\approx 7^{2}=49$. Ir $a_{c}\cdot b_{c}=0.0979903974\cdot 499.951007201835=48.990397876$. Teorema irodyta.

Be to pagal pitagoro teorema, $a={\sqrt {a_{c}^{2}+h_{c}^{2}}}={\sqrt {0.0979903974^{2}+7^{2}}}={\sqrt {49.00960212}}=7.000685832$, kas labai arti reiksmes a=7.

Ir Pagal Pitagoro teorema, $b={\sqrt {b_{c}^{2}+h_{c}^{2}}}={\sqrt {499.951007201835^{2}+7^{2}}}={\sqrt {249951.009602+49}}=500.0000096021$.

Ir dar vienas gal net 100% irodymas, kai trikampio vienas kampas yra A=30 laipsniu, o priesais ji esantis statinis a=5. Kitas kampas C=90 laipsniu, o priesais ji esanti izambine c=10. Ir kampas B=60 laipsniu, o priesais kampa B esantis statinis lygus $b={\sqrt {c^{2}-a^{2}}}={\sqrt {10^{2}-5^{2}}}={\sqrt {75}}=8.660254038$. Priešais 30 laipsniu kampą esanti krastinė, pas statų trikampi, visada yra lygi pusė ižambinės, t.y. a=c/2=10/2=5. Be kita ko aukštinė $h_{c}$ dalina šio trikampio kampą C į du kampus: 60 laipsniu ir 30 laipsniu. Aukštinės $h_{c}$ susikirtimo su ižambine c tašką pavadiname D. Vadinasi $\angle ACD=60$ laipsniu, o kampas $\angle BCD=30$ laipsniu. $DB=a_{c}=a/2=5/2=2.5$, nes dabar krastine a tampa izambine trikampyje CBD. Is to iseina, kad $AD=b_{c}=c-a_{c}=10-2.5=7.5$. Aukstine $h_{c}={\sqrt {a^{2}-a_{c}^{2}}}={\sqrt {5^{2}-2.5^{2}}}={\sqrt {25-6.25}}={\sqrt {18.75}}=4.330127019$. O reikia irodyti, kad $h_{c}^{2}=a_{c}\cdot b_{c}$, taigi $a_{c}\cdot b_{c}=2.5\cdot 7.5=$18.75. Teorema 30 laipsniu staciajam trikampiui irodyta. Ir dar S=a*b/2=5*8.660254038/2=21.6506351 ir taipogi $S=c\cdot h_{c}/2=10\cdot 4.330127019\cdot 0.5=21.6506351$. -- šis nepasirašytas komentaras buvo paliktas naudotojo 84.240.9.58 (aptarimas • indėlis) 09:00, 18 rugpjūčio 2010 (EET)

Kas čia yra nesuprantu. Iš skyriaus pavadinimo maniau, kad bandot įrodyti, kad formulė neteisinga, bet po to lyg įrodinėjate, kad teisinga. Ką čia norite tuo tekstu pasiekti? Šiaip Vikipedija paremta šaltiniais, o ne savo pačių įrodymais. Neįrodinėjam čia vieni kitiems formulių, nurašom jas nuo matematinių knygų tiesiog. Žiūrėkite [1] arba angliškai [2]. O jei ką nors matematiškai įrodyti norėtumėte, tai turėtumėte neimti jokių konkrečių statinių ir kampų reikšmių, o visur skaičiavimuose naudoti a, b, c, alfa ir beta. Bet čia tam ne vieta.--tired time 13:21, 18 rugpjūčio 2010 (EEST)

Įsirodžiau tą formulę dėl visa ko, nes nežinau iš kur ji ištraukta, viskas su ja gerai--tired time 13:34, 18 rugpjūčio 2010 (EEST)

Šitas teiginys, kad $h_{c}^{2}=a_{c}\cdot b_{c}$ yra iš čia:

http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.2000/Umberger/MATH7200/HeronFormulaProject/GeometricProof/geoproof.html

surask tą vietą, kur parašyta $DJ\cdot AD=ID^{2}.$

"Now, since triangle AIJ is right (by construction), and D is a point on the hypotenuse, then DJ*AD = ID^2 (by the geometric mean)." -- šis nepasirašytas komentaras buvo paliktas naudotojo Versatranitsonlywaytofly (aptarimas • indėlis) 22:55, 12 sausio 2011 (EET)

Ir..? Vis viena - koks šio viso teksto tikslas? Jis juk nei ką įrodo, nei ką pailiustruoja, nei paaiškina, nei kelia klausimą, nei ką nors siūlo... Ir parašyta netvarkingai, neplaningai - tad ne tik į Vikipediją, bet ir į Vikiknygas kaip pavyzdys netinka...

Taipogi keista, kad šitą tekstą ir jo peikiamą (ar giriamą? Čia ir bėda, kad nė to suprasti neišeina...) straipsnio vietą parašė kaipo ir tas pats asmuo ([3])... --Martynas Patasius 00:23, 13 sausio 2011 (EET)

Tikslas, manau, buvo įrodyti/parodyti, kad

$h_{c}^{2}=a_{c}\cdot b_{c}$

yra neteisinga formulė, bet gavosi kaip ir atvirkščiai, nors tas įrodymas [kad teisinga formulė] tinka tik mažam skaičiui trikampių. Bet šiaip matosi, kad formullė $h_{c}^{2}=a_{c}\cdot b_{c}$ lyg ir teisinga, čia reikia tik patikėti arba pasitikrinti grafiškai su kompiuteriu parinkus reikšmes ir įsistačius.

O dar vienas toks dalykas užkliuvo iš čia:

http://jwilson.coe.uga.edu/EMT668/EMAT6680.2000/Umberger/MATH7200/HeronFormulaProject/GeometricProof/geoproof.html

Tas dalykas yra, kad aš nematau ryšio šitame teiginyje: "Thus, by transitivity, AC/CG = CJ/DJ." Čia bet kam turėtų būti šita vieta sunkiausia, kas bando suprasti Herono formulės įrodymą su tais braižymais. Jeigu galėčiau sau suprasti šitą vietą ["Thus, by transitivity, AC/CG = CJ/DJ."], tada teiginys $h_{c}^{2}=a_{c}\cdot b_{c}$ taptų įrodytas, nes Herono formulės įrodymas yra ir per Pitagoro teoremą, kuris yra nenuginčijamas.

Kaip parašyta šito puslapio viršuje, šis 'įrodymas' yra kažkoks senovinis metodas kažkokio autoriaus, bandymas įrodyti. Ir tai labiau gali būti muziejaus dalykas nei matematinė teisybė. Todėl ir nenuostabu, kad šitas teiginys: "Thus, by transitivity, AC/CG = CJ/DJ" neatitinka tikrovės. -- šis nepasirašytas komentaras buvo paliktas naudotojo Versatranitsonlywaytofly (aptarimas • indėlis) 18:06, 13 sausio 2011 (EET)

Prieš tai buvo įrodyta, kad AC/BE = HC/IE, HC/IE = HC/ID ir HC/ID = CJ/DJ. Tad ir AC/CG = CJ/DJ, nes lygybė yra tranzityvi.

Bet šiaip jau siūlyčiau į matematiką žiūrėti rimčiau ir apie „apytikslius įrodymus“ pamiršti... Po to ir leptelėjote, kad „Kaip parašyta šito puslapio viršuje, šis 'įrodymas' yra kažkoks senovinis metodas kažkokio autoriaus, bandymas įrodyti. Ir tai labiau gali būti muziejaus dalykas nei matematinė teisybė.“... Įrodymas yra įrodymas - aišku, tikras, o ne „apytikslis“.

Na, ir jei netikite, kad stačiojo trikampio aukštinė (nuleista į įžambinę) dalija įžambinę į dvi dalis taip, kad aukštinės ilgis lygus šių dalių geometriniam vidurkiui, nepamirškite, kad taškams galima suteikti koordinates. „Paguldykime“ trikampį taip, kad jo įžambinė eitų per abscisių ašį, o į ją nuleista aukštinė - per ordinačių. Tada trikampio viršūnės bus A(-x₁; 0), B(0; y₂) ir C(x₃; 0). Tokiu atveju, pagal Pitagoro teoremą,

${x_{1}}^{2}+{y_{2}}^{2}+{y_{2}}^{2}+{x_{3}}^{2}=(x_{1}+x_{3})^{2}={x_{1}}^{2}+2{x}_{1}{x}_{3}+{x_{3}}^{2}.$

Vadinasi,

$2{y_{2}}^{2}=2{x}_{1}{x}_{3}.$

Padaliję abi puses iš dviejų gauname:

${y_{2}}^{2}={x}_{1}{x}_{3}.$

Akivaizdu, kad tai ir reikėjo įrodyti.

Tačiau pagal Vikipedija:Mokslinis naujumas netoleruojamas ir Vikipedija:Patikrinamumas šis įrodymas negali patekti į straipsnį, jei jis nėra pateiktas kokiame nors patikimame, autoritetingame šaltinyje.

Ir dar vienas dalykas: šis įrodymas atrodo tvarkingiau už anksčiau pateiktus „apytikslius įrodymus“. Kodėl? Ne tik todėl, kad jame naudojamos lietuviškos raidės, bet ir dėl to, kad kiekviena formulė iškelta į atskirą eilutę, ir atitraukta nuo krašto toliau, nei likęs tekstas. Ir Jums siūlyčiau taip rašyti - atrodys bent truputį tvarkingiau, ir suprasti lengviau bus. --Martynas Patasius 21:57, 13 sausio 2011 (EET)