Aptarimas:Kompleksinis skaičius

I don't speak your language, but I hope you do understand English. In this article about complex numbers there is a common widepread error. In the definition of a complex number as an expession a+bi, the imaginary unit i should not be defined as $\sqrt{-1}$, because it is in this stage unknown what this should mean, and there is the ambiguity of which root to choose, but i should be introduced as imaginary unit with the property $i^2 = -1$, which property is used in calculating.130.89.222.126 20:38, 11 Rugpjūčio 2006 (EEST)

It is said that i = $\sqrt{-1}$ is imaginary, it is not mistake. --Atlantas 20:48, 11 Rugpjūčio 2006 (EEST)

I don't know who said this, but it is not true. After defining complex numbers, without using a square root, it is possible to define a kind of square root for complex numbers. Either it is multiple valued, or a special main value is to be chosen. 130.89.222.126 14:55, 12 Rugpjūčio 2006 (EEST)

Įrodymai

Sudėtis

$(a ,b)+(c ,d)=(a +bi)+(c +di)=a + bi + c + di = a+c + (b+d) \cdot i = (a + c , b + d) \,$

Atimtis

$(a ,b)-(c ,d)=(a +bi)-(c +di)=a + bi -c-di = a-c + (b-d) \cdot i = (a-c,b-d)$,

Daugyba

$(a , b) \cdot (c , d) =(a +bi)(c +di)= ac+adi+cbi+bidi = ac-bd + (ad+bc)i = (ac - bd , ad + bc) \,$

• $a \cdot (1,0) = (a,0) \cdot (1,0)= (a+ 0) \cdot (1+0)= (a,0) = a$
• $b \cdot (0,1) = (b,0) \cdot (0,1) =(b+0) \cdot (0+i) =(b\cdot 0+b\cdot i+ 0\cdot 0+0\cdot 1)=0+bi= (0,b) = bi$

Dalyba

$\frac{(a ,b)}{(c ,d)}=\frac{a +bi}{c +di}=\frac{ac + bd}{c^2+d^2}+\frac{(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac + bd+bci-adi}{c^2+d^2}=(\frac{ac + bd}{c^2+d^2},\frac{bc-ad}{c^2+d^2}),$

• $\frac{(a ,b)}{(a ,b)}=\frac{a +bi}{a +bi}=1+0i=(1,0)=1$.
• $\frac{1}{(c ,d)}=\frac{(1 ,0)}{(c ,d)}=\frac{1+0i}{c +di}=\frac{1\cdot c + 0\cdot d}{c^2+d^2}+\frac{(0\cdot c-1\cdot d)i}{c^2+d^2}=\frac{c}{c^2+d^2}+(\frac{-d}{c^2+d^2})i=(\frac{c}{c^2+d^2},\frac{-d}{c^2+d^2})$.

Dalybos:

$(c +di)\frac{ac + bd+bci-adi}{c^2+d^2}=\frac{ac^2+bcd+bc^2 i-acdi+acdi+bd^2 i-bcd+ad^2 }{c^2+d^2}=$

$=\frac{ac^2+bc^2 i+bd^2 i+ad^2}{c^2+d^2} =\frac{c^2(a+bi)+d^2(bi+a)} {c^2+d^2}=\frac{(c^2+d^2)(a+bi)}{c^2+d^2}=a +bi$.

• $\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(ac-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac + bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$.

Pavyzdys.

$z_1=(2+5i),$ $z_2=(4+3i)$.

$z=z_1 z_2=(2+5i)(4+3i)=8+6i+20i-15=-7+26i$.

Čia gauto vektoriaus z koordinatės (x; y)=(-7, 26).

Gauto vektoriaus z ilgis :$r= \sqrt{(-7)^2 + 26^2}=\sqrt{725}\approx 26.92582404$.

$r_1 = \sqrt{2^2 + 5^2}=\sqrt{29} \approx 5.385$,

$r_2 = \sqrt{4^2 + 3^2}=\sqrt{25}=5$.

$r=r_1 r_2=5\sqrt{29} \approx 26.92582404$.

Kaip matome naujo vektoriaus z ilgį galima surasti ir be menamojo vieneto i.

$\phi_1 = \arccos \frac{a}{r_1}=\arcsin \frac{b}{r_1}=\arccos \frac{2}{\sqrt{29}}\approx 1.19028995$

$\phi_2 = \arccos \frac{c}{r_2}=\arcsin \frac{d}{r_2}=\arccos \frac{4}{5}\approx 0.643501108$

$z=z_1 z_2 = r_1(\cos\phi_1+i \sin\phi_1)r_2(\cos\phi_2+i \sin\phi_2)=r(\cos(\phi_1+\phi_2)+i \sin(\phi_1+\phi_2))=26.92582404(\cos(1.19028995+0.643501108)+i \sin(1.833791058))=$

$=26.92582404(-0.259973473+ 0.965615758 i)=-6.999999989+25.99999999 i$.

Kaip matome praktiškai visiškai tiksliai suradome naujo vektoriaus z koordinates (-7, 26), be panaudojimo menamojo vieneto savybių (i²=-1) ir menamasis vienetas atliko tik žymeklio vaidmenį.

Čia mes sudėjome du kampus per kuriuos buvo pasukti nuo x ašies abu vektoriai ((a, b) ir (c, d)). Pavyzdžiui vektorius (a, b) su x ašimi sudaro $\phi_1$=~68.2 laipsnių kampą, o vektorius (c, d) su x ašimi sudaro $\phi_2$=~36.87 laipsnių kampą. Kai mes sudauginome $z_1 z_2$, tai kampai susidėjo ir atsirado naujas vektorius kurio ilgis $r=r_1 r_2=26.92582404$ ir kuris su x ašimi sudaro $\phi=\phi_1+\phi_2$=36.87+68.2=~105.07 laipsnių kampą. Kaip matome kampus galima sudėti ir be kompleksinių skaičių, o sudaugintų vektorių ilgius ($r_1$ ir $r_2)$ bei naujo atsiradusio vektoriaus $r=r_1 r_2$ ilgį taip pat rasti be kompleksinių skaičių (o tiksliau be menamojo vieneto i ).

Muavro formulė

Didelę reikšmę vienetinio ilgio kompleksiniai skaičiai, kai r=1.

Kai $\varphi=\pi/2$, tai

$e^{i\varphi}=\cos\varphi+i\sin\varphi=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$.

$(\cos\varphi+i\sin\varphi)^2=\cos 2\varphi+i\sin 2\varphi=0+i$

$(\cos\varphi+i\sin\varphi)^3=\cos 3\varphi+i\sin 3\varphi=-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i$

ir t.t. Vienetinio ilgio vektorius kaskart nuo x ašies pasisuka po 45 laipsnius prieš laikrodžio rodyklę (kai kampas $\varphi=45$ laipsniai).

Ši formulė taikoma elektronikoje ir fizikoje. x ašis reiškia laiką, o y reiškia amplitudę (pavyzdžiui įtampos arba srovės). Jeigu pasuksime nuo +1 prieš laikrodžio rodyklę 180 laipsnių tai tokių budu pakeisime fazę ir ten kur buvo amplitudės maksimumas taps minimumu, o kur buvo minimumas - ten bus maksimumas.

Nuomonė

Aš galvoju kad užsinietis yra teisus, nors tai menamas skaičius tačiau literatūroje sakoma taip "i yra menamas skaičius kai i↔(0,1) ir tenkina sąlygą $i^2 = -1$" pagal Korn and Korn "mathematical handbook"--Qwarc 23:45, 2007 rugpjūčio 1 (EEST)

Papildomai kai apibrėžimas per šaknį tai šito žymėjimo subtilybės paaiškintos čia en:Imaginary unit Warninig skyrelyje--Qwarc 23:50, 2007 rugpjūčio 1 (EEST)

kompleksinis skaicius diferencialineje lygtyje

Ispresti diferencialine lygti:

${d^2 y\over dx^2}=-a^2 y.$

Sprendimas.

$y=e^{rx}$

${d y\over dx}=re^{rx}$

${d^2 y\over dx^2}=r^2 e^{rx}$

$r^2 e^{rx}=-a^2 e^{rx}$

$r^2 =-a^2$

$r_1=ia$

$r_2=-ia$

$y=Ae^{r_1 x}+Be^{r_2 x}=Ae^{ia x}+Be^{-ia x},$ kur A ir B - konstantos.

$y=A(\cos(ax)+i\sin(ax))+B(\cos(ax)-i\sin(ax))=(A+B)\cos(ax)+(A-B)i\sin(ax)=C\cos(ax)+D\sin(ax),$ kur C=A+B; D=(A-B)i.

Lygties sprendiniai yra $y=\cos(ax),$ $y=\sin(ax)$ ir $y=\cos(ax)+\sin(ax).$