Anatolijus Karacuba

Anatolijus Aleksejevičius Karacuba
Gimė:	1937 m. sausio 31 d. Grozne, TSRS
Mirė:	2008 m. rugsėjo 28 d. (71 metai) Maskva, Rusija
Tautybė:	Rusas
Veikla:	Matematikas

Anatolijus Aleksejevičius Karacuba (1937 m. sausio 31 d., Groznas, TSRS – 2008 m. rugsėjo 28 d., Maskva, Rusijoje) – Rusijos matematikas.

Studijos ir darbas

1944–1954 m. Anatolijus Karacuba mokėsi Grozno berniukų gimnazijoje ir ją baigė sidabro medaliu. Jau vaikystėje jis parodė išskirtinius gabumus matematikai. Būdamas žemesniųjų klasių moksleiviu jis jau sprendė uždavinius, skirtus vyriausiųjų klasių mokiniams.

1959 m. jis baigė Maskvos valstybinio Lomonosovo universiteto Matematikos ir informatikos fakultetą. 1962 m. apgynęs disertaciją "Specialaus pavidalo racionaliosios trigonometrinės sumos ir jų taikymai" (mokslinis vadovas N. M. Korobovas (Korobov)), tapo fizikos ir matematikos mokslų kandidatu ir pradėjo dirbti MVU Matematikos ir mechanikos fakultete. 1966 m. apgynė disertaciją "Trigonometrinių sumų metodas ir vidurkių teoremos" ir tapo fizikos ir matematikos mokslų daktaru bei Steklovo matematikos instituto (MIAN) mokslo darbuotoju.

Nuo 1983 m. buvo vedantysis skaičių teorijos specialistas TSRS ir Rusijoje. Jis buvo Steklovo instituto skaičių teorijos skyriaus vadovas, nuo 1970 m. – Maskvos valstybinio universiteto skaičių teorijos katedros profesorius, o nuo 1980 m. – Maskvos valstybinio universiteto Matematinės analizės katedros profesorius. Jo mokslinių interesų sritis apėmė trigonometrines sumas ir trigonometrinius integralus, Rymano dzeta funkciją, Dirichlė charakterius, baigtinius automatus, efektyviuosius algoritmus.

Karacuba vadovavo 15 doktorantų, kurie įgijo daktaro laipsnius (tapo mokslų kandidatais); septyni iš jų tapo mokslų daktarais. Karacubai buvo paskirtos premijos ir suteikti garbės vardai.

Premijos ir vardai.

• 1991: Tarybų Sąjungos Mokslų Akademijos P. L. Čebyševo vardo premija
• 1999: Nusipelnęs Rusijos mokslininkas
• 2001: Rusijos Mokslų Akademijos I. M. Vinogradovo vardo premija

Ankstyvieji darbai iš informatikos

Būdamas Maskvos valstybinio Lomonosovo universiteto studentu, Karacuba lankė Andrejaus Kolmogorovo seminarus ir išsprendė dvi Kolmogorovo iškeltas problemas, kurios buvo svarbios automatų teorijos vystymui ir davė pradžią naujai matematikos šakai – greitųjų algoritmų teorijai.

Automatai

Edvardo F. Muro (Edward F. Moore) straipsnyje $S$ tipo $(n;m;p)$ automatu arba mašina yra vadinamas įrenginys su $n$ būsenų, $m$ įėjimo simbolių ir $p$ išėjimo simbolių. Straipsnyje buvo įrodytos devynios teoremos apie $S$ struktūrą ir eksperimentus su $S$. Vėliau $S$ buvo pavadintos Muro mašinomis. Straipsnio pabaigoje skyrelyje "Naujos problemos" Muras suformulavo problemą apie įverčių, gautų 8 ir 9 teoremose patikslinimą.

8 teorema (Muro). Tarkime, jog $S$ yra tokia tipo $(n;m;p)$ mašina, kad bet kurios dvi būsenos yra skirtingos viena nuo kitos. Tuomet egzistuoja $n(n-1)/2$ ilgio algoritmas, savo pabaigoje identifikuojantis $S$ būseną.

1957 m. Karacuba įrodė dvi teoremas, kurios pilnai išsprendė Muro problemą apie 8 teoremos algoritmo ilgio patikslinimą.

A teorema (Karacubos). Tarkime, jog $S$ yra tipo $(n;m;p)$ mašina, kurios bet kurios dvi būsenos yra skirtingos. Tuomet egzistuoja ne didesnio negu $\frac{(n-1)(n-2)}{2}+1$ išsišakojęs algoritmas, pagal kurį ekspermento pabaigoje gali būti surasta mašinos $S$ būsena.

B teorema (Karacubos). Egzistuoja tokia $(n;m;p)$ tipo mašina su skirtingomis būsenomis, kad būsenos radimo trumpiausio algoritmo ilgis yra $\frac{(n-1)(n-2)}{2}+1.$

Šias dvi teoremas Karacuba įrodė ketvirtame kurse, jos buvo jo kursinio darbo pagrindas. Atitinkamas straipsnis 1958 m. gruodžio 17 d. buvo įteiktas žurnalui "Uspechi Matem. Nauk" ir paskelbtas 1960 m.. Iki šiol šis Karacubos rezultatas, vėliau pavadintas Muro-Karacubos teorema, lieka tiksliausias (tiksliausias ne tiesinis eilės įvertis) ne tiesinis rezultatas tiek automatų teorijoje, tiek ir analogiškose skaičiavimų sudėtingumo teorijos problemose.

Greitieji algoritmai

Greitieji algoritmai yra matematikos sritis, nagrinėjanti duotos funkcijos apskaičiavimo nurodytu tikslumu algoritmus naudojant kiek galima mažiau operacijos bitų. Tarkime, jog skaičiai yra užrašyti binarioje sistemoje, kurios ženklai $0$ ir $1$ yra vadinami "bitais". Vienos "operacijos bitas" apibrėžiamas rašant vieną iš ženklų $0, 1$, plius, minus, skliausteliai; rašant greta, atimant ir sudauginant du bitus. Andrejus Kolmogorovas pirmasis iškėlė problemas apie skaičiavimo sudėtigumo bitus. Daugybos sudėtigumas $M(n)$ yra skaičius operacijos bitų, reikalingas apskaičiuoti dviejų $n$ skaitmenų skaičių sandaugą, naudojant duotą algoritmą.

Daugindami du $n$-skaitmenų skaičius įprastu mokykliniu stulpelio metodu, gauname, kad $M(n)=O(n^{2})$. 1956 m. A. N. Kolmogorovas iškėlė hipotezę, jog bet kurio daugybos metodo apatinis $M(n)$ rėžis taip pat yra $n^{2}$ eilės, t. y., negalima apskaičiuoti dviejų $n$ skaitmenų skaičių sandaugą greičiau negu naudojant $n^{2}$ operacijų (vadinamoji Kolmogorovo $n^{2}$ hipotezė). $n^{2}$ hipotezė atrodė realistinė, kadangi visa skaičių daugybos istorija naudojosi eilės $O(n^{2})$ sedėtingumu, ir jei greitesnis metodas būtų egzistavęs, jis tikriausiai jau būtų surastas.

1960 m. Anatolijus Karacuba surado naują $n$ ženklų skaičių daugybos būdą, dabar vadinamą Karacubos algoritmu, kurio sudėtingumo eilė $M(n)=O(n^{\log_{2}3})=O(n^{1,58496...})$. Taigi, $n^{2}$ hipotezė buvo paneigta. Karacuba šį rezultatą 1960 m. pristatė Maskvos Valstybinio Universiteto Kolmogorovo seminare, kuris vėliau nustojo veikti. Pirmąjį straipsnį, kuriame buvo išdėstytas metodas, paruošė pats Kolmogorovas. Jame buvo pateikti du skirtingi, vienas su kitu nesusiję, jo dviejų studentų rezultatai. Straipsnyje Kolmogorovas aiškiai nurodė, jog viena teorema (nesusijusi su greita daugyba) priklauso J. Ofmanui, o kita (su pirmuoju greitosios daugybos algoritmu) yra įrodyta A. Karacubos. Vėliau Karacubos metodas buvo pavadintas "Dalyk ir nugalėk" algoritmu. Kiti šio metodo pavadinimai, priklausomai nuo taikymų srities, yra Binarusis skaidymas, Dichotomijos principas ir t. t.

Vėliau, remiantis Karacubos idėjomis buvo sukonstruoti tūkstančiai greitųjų algoritmų. Dauguma jų yra tiesioginiai Karacubos metodo apibendrinimai. Tokie yra Šonhagės-Štraseno (Schönhage-Strassen) ir Štraseno matricų daugybos algoritmai. Pastaraisiais metais "Dalyk ir nugalėk" vardas yra naudojamas operacijoms, kurios problemą skaldo į dalis, ir tai paprastai nėra susiję su greitais skaičiavimo algoritmais.

Prancūzų matematikas ir filosofas Žanas – Polis Delajė (Jean-Paul Delahaye) laikė Karacubos daugybos metodą "vienu iš naudingiausių matematikos rezultatų".

Anatolijaus Karacubos algoritmas praktiškai yra realizuotas šiuolaikiniuose kompiuteriuose, ne tik programinėje, bet ir techninėje įrangoje.

Darbai iš skaičių teorijos

Straipsnyje "Apie profesoriaus A. A. Karacubos matematikos darbus", paskelbtame A. A. Karacubos šešiasdešimtmečio proga, jo buvę mokiniai G. I. Archipovas ir V. N. Čiubarikovas išskiria tokius A. A. Karacubos mokslinių straipsnių charakteringus bruožus: "Aprašant garsių mokslininkų darbus, yra natūralu apibendrinti jųkūrybinio darbo kai kurias charakteristikas. Tokie išsiskiriantys profesoriaus Karacubos mokslinio darbo bruožai yra įvairiapusis genialumas, fundamentalus charakteris ir rezultatų išbaigtumas".

Svarbiausi A. A. Karacubos darbai yra paskelbti daugiau negu 160 mokslinių straipsnių ir monografijų.

Trigonometrinės sumos ir trigonometriniai integralai

$p$-adinis metodas

A. A. Karacuba pastatytas naujas $p$- adinį metodą trigonometrinių sumų teorijoje. Taip vadinamų $L$ sumų pavidalo

$S=\sum\limits_{x=1}^{P}e^{2\pi i(a_{1}x/p^{n}+...+a_{n}x^{n}/p)}, \;\;\;(a_{s},p)=1,\;\;\;1\leq s\leq n,$

įverčiai, gauti darbe, sąlygojo naujus Dirichlė $L$ funkcijų su pirminio skaičiaus laipsnio moduliu nulių įverčius, Varingo (Waring) lyginio

$x^{n}_{1}+...+x^{n}_{t}\equiv N (mod p^{k}),\;\;\;1\leq x_{s}\leq P,\;\;\;1\leq s\leq n,\;\;\;P< p^{k},$ sprendinių skaičiaus asimptotinę formulę, polinomo su sveikais keoficientais moduliu $p^{k}$ trupmeninių dalių pasiskirstymo problemos sprendimą. A. A. Karacuba pirmasis realizavo Oilerio – Vinogradovo " įdėjimo principo" $p$-adinį variantą ir suskaičiavo Vinogradovo $u$-skaičiaus, įvertinančio Varingo tipo lyginio sprendinių skaičių, $p$-adinį analogą. Tarkime, kad

$x_1^{n} + \dots + x_t^{n} \equiv N \pmod{Q}, \quad 1 \le x_s \le P, \quad 1 \le s \le t, \quad (1)$

ir, be to, $P^{r}\leq Q\leq P^{r+1},\;\;\;1\leq r \leq \frac{1}{12}\sqrt{n},\;\;\;Q=p^{k},\;\;\;k\geq 4(r+1)n$, o $p$ yra pirminis skaičius. Karacuba įrodė, kad tuomet su kiekvienu natūraliuoju $n\geq 144$ egzistuoja toks $p_{0}=p_{0}(n)$, kad, kai $p > p_{0}(n),$ kiekvienas natūralusis skaičius $N$ gali būti išreikštas (1) forma su $t\geq 20r+1$, o kai $t < r$, egzistuoja tokie $N$, kad (1) lyginys neturi prasmės.

Šis naujas Karacubos metodas atvedė prie naujo $p$-adinio Vinogradovo vidurkių teoremos, sudarančios Vinogradovo trigonometrinių sumų metodo svarbiausią dalį, įrodymo.

Kitas A. A. Karacubos $p$-adinio metodo privalumas yra perėjimas nuo nepilnos lygčių sistemos prie pilnos $p$-adinio nežinomųjų pakeitimo dėka.

Tegul $r$ yra bet koks natūralusis skaičius, $1\leq r \leq n$, o sveikasis skaičius $t$ yra apibrėžtas nelygybėmis $m_{t}\leq r \leq m_{t+1}.$ Nagrinėkime lygčių sistemą

$\begin{cases} x_{1}^{m_{1}}+...+x_{k}^{m_{1}}=y_{1}^{m_{1}}+...+y_{k}^{m_{1}},\\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots\\ x_{1}^{m_{s}}+...+x_{k}^{m_{s}}=y_{1}^{m_{s}}+...+y_{k}^{m_{s}},\\ x_{1}^{n}+...+x_{k}^{n}=y_{1}^{n}+...+y_{k}^{n}, \end{cases}$

kurioje $1\leq x_{1},...,x_{k}, y_{1},..., y_{k}\leq P,\;\; 1\leq m_{1} < m_{2} <...< m_{s} < m_{s+1}=n.$ Karacuba parodė, kad šios sistemos sprendinių skaičiui $I_{k},$ kai $k\geq 6rn\log n$, yra teisingas įvertis

$I_{k}\ll P^{2k-\delta}, \;\; \delta=m_{1}+...+m_{t}+(s-t+1)r.$

Nepilnoms lygčių sistemoms, kai kintamieji perbėga skaičius su mažais pirminiais dalikliais, Karacuba pritaikė multiplikatyvų kintamųjų pakeitimą. Tai leido gauti iš esmės naujus trigonometrinių sumų įverčius ir naują vidurkių teoremą tokio tipo lygčių sistemoms.

Hua-Luogeng'o problema apie Terio (Terry) problemos singuliariojo integralo rodiklių konvergavimą

$p$-adinis A. A. Karacubos metodas leidžia įvertinti taškų aibių, sudarytų iš mažų funkcijų reikšmių, matą tų reikšmių ir jų parametrų (koeficientų ir t. t.) terminais, ir, priešingai, duoda būdą tų parametrų įvertinimui minėtos aibės mato terminais tiek realioje, tiek ir $p$-adinėje metrikoje. Ši Karacubos metodo pusė labai ryškiai pasireiškia trigonometrinių integralų įvertinime, kuris atvedė prie Hua Luogengo problemos sprendimo. 1979 m. Karacuba kartu su savo mokiniais G. I. Archipovu ir V. N. Čiubarikovu gavo pilną Hua Lougengo problemos sprendimą, nurodydami integralo

$\vartheta_{0}=\int\limits^{+\infty}_{-\infty}\ldots \int\limits^{+\infty}_{-\infty}\bigg |\int\limits^{1}_{0}e^{2\pi i(\alpha_{n}x^{n}+...+\alpha_{1}x)}dx\bigg|^{2k}d\alpha_{n}...d\alpha_{1}$

konvergavimo rodiklį, kai $n\geq 2$ yra fiksuotas skaičius. Ši problema buvo iškelta 1937 m. Konvergavimo rodiklis yra reikšmė $\gamma$, su kuria integralas $\vartheta_{0}$ konverguoja, kai $2k > \gamma+\varepsilon$ ir diverguoja, kai $2k < \gamma-\varepsilon$. Čia $\varepsilon > 0$ yra kiek norima mažas skaičius. Buvo įrodyta, kad integralas $\vartheta_{0}$ konverguoja, kai $2k > \frac{1}{2}(n^{2}+n)+1$, ir diverguoja, kai $2k \leq \frac{1}{2}(n^{2}+n)+1$. Tuo pa{\v c}iu metu pana{\v s}i problema buvo išspręsta ir integralui

$\vartheta_{1}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ldots\int\limits^{+\infty}_{-\infty}\bigg|\int\limits^{1}_{0}e^{2\pi i(\alpha_{n}x^{n}+\alpha_{m}x^{m}+...+\alpha_{r}x^{r})}dx\bigg|^{2k}d\alpha_{n}d\alpha_{m}...d\alpha_{r};$ čia $n, m,...,r$ yra sveikieji skaičiai, tenkinantys nelygybes $1\leq r < ... < m < n,\;\;r+...+m+n < \frac{1}{2}(n^{2}+n)$. Karacuba ir jo mokiniai įrodė, jog integralas $\vartheta_{1}$ konverguoja, kai $2k > n+m+...+r$, ir diverguoja, kai $2k \leq n+m+...+r$.

Integralai $\vartheta_{0}$ ir $\vartheta_{1}$ atsiranda nagrinėjant taip vadinamą Prušė-Terio-Eskoto (Prouchet-Tarry-Escott) problemą. Karacuba su savo mokiniais gavo eilę naujų rezultatų, liečiančių daugiamatį Terio problemos analogą. Be kita ko, jie įrodė, kad jei $F$ yra $r$, $r\geq 2$, kintamųjų polinomas

$F(x_{1},...,x_{r})=\sum\limits^{n_{1}}_{\nu_{1}=0}\ldots \sum\limits^{n_{r}}_{\nu_{r}=0}\alpha(\nu_{1},..., \nu_{r})x_{1}^{\nu_{1}}...x_{r}^{\nu_{r}},$ polinomo $F$ laisvasis narys lygus nuliui, $m=(n_{1}+1)...(n_{r}+1)-1$, o $\overline{\alpha}$ yra $m$ – matis vektorius, sudarytas iš polinomo $F$ koeficientų, tai tuomet integralas

$\vartheta_{2}=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ldots \int\limits^{+\infty}_{-\infty}\bigg|\int\limits^{1}_{0}\ldots\int\limits^{1}_{0}e^{2\pi i F(x_{1},..., x_{r} )}dx_{1}...dx_{r}\bigg|^{2k}d\overline{\alpha}$

konverguoja, kai $2k > mn$, čia $n$ yra didžiausias iš skaičių $n_{1},...,n_{r}$. Šis rezultatas, nors ir ne galutinis, inspiravo naują trigonometrinių integralų teorijos sritį, susijusią su integralo $\vartheta_{2}$ konvergavimo rodiklio įverčio patikslinimu (I. A. Ikromovas, M. A. Čahkijevas ir kiti).

Kartotinės trigonometrinės sumos

1966–1980 Karacuba sukūrė kartotinių Hermano Veilio (Hermann Weyl) trigonometrinių sumų, t. y., sumų pavidalo

$S=S(A)=\sum\limits^{P_{1}}_{x_{1}=1}\ldots\sum\limits^{P_{r}}_{x_{r}=1}e^{2\pi i F(x_{1},...,x_{r})}$

su

$F(x_{1},...,x_{r})=\sum\limits^{n_{1}}_{t_{1}=1}\ldots\sum\limits^{n_{r}}_{t_{r}=1}\alpha(t_{1},...t_{r})x_{1}^{t_{1}}...x_{r}^{t_{r}}$

ir realių koeficientų $\alpha(t_{1},...,t_{r})$ sistema $A$, teoriją. Centrinė tos teorijos, kaip ir Vinogradovo trigonometrinių sumų teorijos, vieta yra tokia vidurkių teorema.

Tegul $n_{1},...,n_{r}$, $P_{1},...,P_{r}$ yra natūralieji skaičiai, $P_{1}=\min(P_{1},...,P_{r})$, $m=(n_{1}+1)...(n_{r}+1)$. Be to, tegul $\Omega$ yra $n$ -matis kubas $0\leq \alpha(t_{1},...,t_{r}) < 1$, $0\leq t_{1}\leq n_{1},...$, $0\leq t_{r}\leq n_{r}$, euklidinėje erdvėje ir

$J=J(P_{1},...,P_{r};n_{1},...,n_{r};K,r)=\int \begin{matrix} \ldots\\ \Omega \end{matrix} \int|S(A)|^{2K}dA.$

Tuomet su kiekvienu $\tau\geq 0$ ir $K\geq K_{r}=m\tau$ yra teisingas įvertis

$J\leq K_{\tau}^{2m\tau}\kappa^{4\kappa^{2}\Delta(\tau)}2^{8m\kappa\tau}(P_{1}...P_{r})^{2K}P^{-\kappa\Delta(\tau)};$

čia $\kappa=n_{1}\nu_{1}+...+n_{r}\nu_{r}$, $\gamma\kappa=1$, $\Delta(\tau)=\frac{m}{2}(1-(1-\gamma)^{\tau})$, $P=(P_{1}^{n_{1}}...P_{r}^{n_{r}})^{\gamma}$, o natūralieji skaičiai $\nu_{1},...,\nu_{r}$ tenkina nelygybes $-1 < \frac{P_{s}}{P_{1}}-\nu_{s}\leq 0$, $s=1,...,r$.

Vidurkių teorema kartu su lema apie daugiamačių gretasienių susikirtimo kartotinumą sudaro Karacubos gauto kartotinių trigonometrinių sumų įvertinimo pagrindą. Tegul $Q_{0}$ yra skaičių $q(t_{1},...,t_{r})$, tenkinančių sąlygą $t_{1}+...+t_{r}\geq 1,$ bendras mažiausias kartotinis. Tuomet, kai $Q_{0}\geq P^{1/6}$, galioja įvertis

$|S(A)|\leq (5n^{2n})^{r\nu(Q_{0})}(\tau(Q_{0}))^{r-1}P_{1}...P_{r}Q^{-0.1\mu}+2^{8r}(r\mu^{-1})^{r-1}P_{1}...P_{r}P^{-0.05\mu};$

čia $\tau(Q)$ yra skaičiaus $Q$ daliklių skaičius, o $\nu(Q)$ yra skaičiaus $Q$ skirtingų pirminių daliklių skaičius.

Hardžio funkcijos Varingo problemoje įvertis

Pritaikęs Hardžio-Litlvudo-Vinogradovo metodo $p$-adinė formą trigonometrinių sumų, kuriose yra sumuojama pagal skaičius su mažais pirminiais dalikliais vertinimui, Karacuba gavo naują įvertį gerai žinomoms Hardžio funkcijoms $G(n)$ Varingo problemoje, kai $n\geq 400:$

$G(n) < 2n\log n+2n\log\log n+12n.$

Varingo problemos daugiamatis analogas

Toliau nagrinėdamas Varingo problemą, Karacuba gavo tokį dvimatį jos apibendrinimą.

Imkime lygčių sistemą

$x_{1}^{n-i}y_{1}^{i}+...+x_{k}^{n-i}y_{k}^{i}=N_{i},\;\; i=0,1,...,n,$

kurioje $N_{i}$ yra duoti sveikieji teigiami skaičiai su tuo pačiu augimo greičiu, $N_{0}\rightarrow\infty$, $x_{k}$ ir $y_{k}$ yra nežinomieji, kurie taip pat yra sveikieji teigiami skaičiai. Ši sistema turi sprendinių, kai $k > cn^{2}\log n$, o kai $k < c_{1}n^{2}$, tai egzistuoja tokie $N_{i}$, kad sistema neturi sprendinių.

Artino (Artin) problema apie lokalią nulio išraišką duotąja forma

Nagrinėdamas Artino problemą apie $p$-adinę nulio išraišką bet kokio laipsnio forma, Karacuba priešingai egzistuojančiai hipotezei, kad nulio išreiškimui netrivialia forma reikia, jog kintamųjų skaičius augtų polinomiškai, įrodė, kad iš tikrųjų šis skaičius turėtų augti beveik eksponentiškai priklausomai nuo formos laipsnio.

Karacuba kartu su savo mokiniu Archipovu įrodė , kad su kiekvienu natūraliuoju $r$ egzistuoja toks $n_{0}=n_{0}(r)$, kad su visais $n\geq n_{0}$ yra mažesnio negu $n$ laipsnio $k\geq 2^{u},$ $u=\frac{n}{(\log_{2}n)(\log_{2}\log_{2}n)...\underbrace{(\log_{2}...\log_{2}n)}_{r}\underbrace{(\log_{2}...\log_{2}n)^{3}}_{r+1}},$ kintamųjų su sveikais koeficientais forma $F(x_{1},...,x_{k} ),$ turinti tik trivialią nulio išraišką $p$-adiniais skaičiais. Panašius rezultatus jie gavo su bet kuriuo nelyginiu pirminiu moduliu $p$.

Trumpų Klostermano sumų įverčiai

1993–1999 m. Karacuba išvystė naują trumpų Klostermano sumų

$\sum\limits_{n\in A}\exp\bigg(2\pi i\frac{an^{*}+bn}{m}\bigg)$

įvertinimo metodą. Čia $n$ perbėga skaičių, tarpusavyje pirminių su $m$ aibę $A$, aibės $A$ elementų skaičius $\|A\|$ yra mažesnis už $m$, o $n^{*}$ reiškia likinių moduliu $m$ klasę, atvirkštinę $n$, t. y.,

$nn^{*}=1({\text{mod}}\; m).$

Iki 1990 m. įverčiai tokio tipo sumoms buvo žinomi tik atveju, kai sumos dėmenų skaičius yra didesnis už $\sqrt{m}$ (H. D. Klostermanas, I. M. Vinogradovas, H. Sali (Salie), L. Karlicas (Carlitz), S. Uchijama (Uchiyama), A. Veilis (Weil)). Buvo tik viena išimtis specialaus pavidalo moduliams $m=p^{\alpha}$, kai $p$ yra fiksuotas pirminis skaičius, o rodiklis $\alpha$ auga į begalybę. (Šį atvejį nagrinėjo A. G. Postnikovas (Postnikov), naudodamas Ivano Matvejevičiaus Vinogradovo metodą). Karacubos metodas leidžia įvertinti Klostermano sumas, kuriose dėmenų skaičius neviršija $m^{\varepsilon}$, o kai kuriais atvejais net

$\exp\{(\ln m)^{2/3+\varepsilon}\}$, čia $\varepsilon > 0$ yra bet koks mažas fiksuotas skaičius.

Įvairūs Karacubos metodo aspektai buvo pritaikyti sprendžiant tokias analizinės skaičių teorijos problemas:

• rasti trupmeninių dalių sumų, turinčių pavidalą

$\sum'_{n\leq x}\bigg\{\frac{an^{*}+bn}{m}\bigg\}, \;\;\sum'_{p\leq x}\bigg\{\frac{ap^{*}+bp}{m}\bigg\},$

asimptotiką; čia $n$ perbėga sveikuosius skaičius, tenkinančius sąlygą $(n,m)=1$, o $p$ perbėga pirminius skaičius, iš kurių nesidalija $m$ (A. A. Karacuba);

• įvertinti iš apačios nelygybių

$\alpha < \bigg\{\frac{an^{*}+bn}{m}\bigg\}\leq\beta$

sprendinių sveikaisiais skaičiais $n$, $1\leq n\leq x$, $(n,m)=1$, $x < \sqrt{m}$, skaičių (A. A. Karacuba);

• patikslinti bet kokio realaus skaičiaus iš intervalo $[0,1]$ artinius trupmeninėms dalims

$\bigg\{\frac{an^{*}+bn}{m}\bigg\},$ kai $1\leq n \leq x$, $(n,m)=1$ ir $x < \sqrt{m}$ (A. A. Karacuba);

• patikslinti konstantą $c$ Bruno-Tičmarsho (Brun – Titchmarsh) teoremoje

$\pi(x;q,l) < \frac{cx}{\varphi(q)\ln\frac{2x}{q}}$; čia $\pi(x;q,l)$ yra pirminių skaičių, neviršijančių $x$ ir priklausančių aritmetinei progresijai $p\equiv l (\pmod q),$ skaičius. (J. Fridlanderis (J. Friedlander), H. Ivaniecas (H. Iwaniec));

• rasti skaičių pavidalo $n^{3}+2$, $N < n \leq 2N$ sandaugos didžiausio pirminio

daliklio įvertį iš apačios (D. R. His-Braunas (D. R. Heath – Brown));

• įrodyti, jog yra be galo daug pavidalo $a^{2}+b^{4}$ pirminių skaičių

(J. Fridlanderis, H. Ivaniecas);

• ištirti skaičių aibės

$n^{*}({\text{mod}}\;m)1\leq n\leq m^{\varepsilon},$ kombinatorines savybes (A. A. Glibičiukas (A. A. Glibichuk))

Rymano dzeta funkcija

Selbergo hipotezė

1984 m. Karacuba įrodė, kad su fiksuotu $\varepsilon$, $0 < \varepsilon < 0.001$ , pakankamai dideliu $T$ ir $H=T^{a+\varepsilon}$ su $a=\frac{27}{82}=\frac{1}{3}-\frac{1}{246}$ intervale $(T,T+H)$ yra bent $cH\ln T$ Rymano dzeta funkcijos $\zeta\bigg(\frac{1}{2}+it\bigg)$ realių nulių.

Šis nulių skaičius yra 1942 m. Atlės Selbergo (Atle Selberg) iškelta hipotezė, kurią jis pats ir įrodė atveju $H\geq T^{1/2+\varepsilon}.$

Šie Selbergo ir Karacubos įverčiai negali būti patikslinti augimo eilės atžvilgiu, kai $T\rightarrow\infty.$

Rymano dzeta funkcijos nulių pasiskirstymas trumpuose kritinės tiesės intervaluose

Karacuba gavo eilę rezultatų apie funkcijos $\zeta(s)$ nulių pasiskirstymą kritinėje tiesėje. Jis įrodė, jog Selbergo hipotezės analogas yra teisingas "beveik visiems" intervalams $(T,T+H]$ su $H=T^{\varepsilon}$, kai $\varepsilon$ yra kiek norint mažas fiksuotas teigiamas skaičius. 1992 m. Karacuba išvystė naują Rymano dzeta funkcijos nulių labai trumpuose kritinės tiesės intervaluose $(T, T+H]$ tyrinėjimo metodą, kai intervalo ilgis $H$ auga lėčiau už bet kurį, kad ir labai mažą, $T$ laipsnį. Be kita ko, jis įrodė, kad su bet kuriais $\varepsilon$ ir $\varepsilon_{1}$, $0 < \varepsilon,$ $\varepsilon_{1} < 1$, beveik visuose intervaluose $(T,T+H]$ su $H\geq \exp\{(\ln T)^{\varepsilon}\}$ yra bent $H(\ln T)^{1-\varepsilon_{1}}$ funkcijos $\zeta(\frac{1}{2}+it)$ nulių. Pastarasis įvertis labai mažai skiriasi nuo įverčio, kuris išplaukia iš Rymano hipotezės.

Dirichlė $L$ eilučių tiesinių kombinacijų nuliai

Karacuba išvystė naują funkcijų, kurios yra išreiškiamos Dirichlė $L$ eilučių tiesinėmis kombinacijomis, nulių tyrinėjimo metodą. Paprasčiausias tokios funkcijos pavyzdys yra Davenporto-Heilbrono (Davenport-Heilbronn) funkcija $f(s)$, apibrėžiama lygybe

$f(s)=\tfrac{1}{2}(1-i\kappa)L(s,\chi)+\tfrac{1}{2}(1 \,+\,i\kappa)L(s,\bar{\chi}),$

kurioje $\chi$ yra nepagrindinis charakteris moduliu$5$ ($\chi(1) = 1$, $\chi(2) = i$, $\chi(3) = -i$, $\chi(4) = -1$, $\chi(5) = 0$, $\chi(n+5) = \chi(n)$ for any $n$),

$\kappa=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}-2}{\sqrt{5}-1}.$

Rymano hipotezė funkcijai $f(s)$ nėra teisinga, tačiau kritinėje tiesėje ${\text{Res}}=\frac{1}{2}$ guli nenormaliai daug jos nulių.

1989 m. Karacuba įrodė, jog intervale $(T,T+H]$, $H=T^{27/82+\varepsilon}$, yra bent

$H(\ln T)^{1/2}e^{-c\sqrt{\ln\ln T}}$

funkcijos $f(\frac{1}{2}+it)$ nulių. Panašius rezultatus Karacuba gavo ir tiesinėms kombinacijoms su bet kuriuo baigtiniu dėmenų skaičiumi, tik šiuo atveju rodiklis $1/2$ yra pakeičiamas mažesniu skačiumi $\beta$, priklausančiu nuo tiesinės kombinacijos pavidalo.

Dzeta funkcijos nulių sritis ir daugiamatė Dirichlė daliklių problema

Karacubai priklauso naujo didelio atradimo rezultatas apie daugiamatę Dirichlė daliklių problemą, susijęs su nelygybės $x_{1}\cdot...\cdot x_{k}\leq x$ sprendinių natūriniais skaičiais $x_{1},...,x_{k}$ skaičiumi $D_{k}(x)$, kai $x\rightarrow\infty$. Yra žinoma asimptotinė formulė

$D_{k}(x)=xP_{k-1}(\ln x)+R_{k}(x),$

kurioje $P_{k-1}$ yra $(k-1)$-ojo laipsnio polinomas su koeficientais, priklausančiais nuo $k$ ir turinčiais išreikštinį pavidalą, o $R_{k}(x)$ yra liekamasis narys. Iki 1960 m. buvo žinomi įverčiai

$|R_{k}(x)|\leq x^{1-\alpha(k)}(c\ln x)^{k}$

su $\alpha=\frac{1}{ak+b},$ kai $a, b, c$ yra kurios nors absoliučios teigiamos konstantos.

Karacuba gavo daug tikslesnį nario $R_{k}(x)$ įvertį, kuriame $\alpha(k)$ yra $k^{-2/3}$ eilės ir yra mažėjanti daug lėčiau, negu ankstesniuose įverčiuose. Karacubos įvertis yra tolygus $x$ ir $k$ atžvilgiu, be to , $k$ reikšmė gali augti kartu su $x$ kaip kuris nors logaritmo $x$ laipsnis. (Iš pažiūros panašų, bet silpnesnį rezultatą 1960 m. gavo vokiečių matematikas Richertas (Richert), kurio straipsnis tarybiniams matematikams nebuvo žinomas bent iki septintojo dešimtmečio vidurio).

Ǐverčio dydžiui $R_{k}(x)$ įrodymas remiasi eile tvirtinimų, iš esmės ekvivalenčių teoremai apie Rymano dzeta funkcijos nulių sritį. Ši teorema buvo gauta Vinogradovo metodu ir tvirtino, kad funkcija $\zeta(s)$ neturi nulių srityje

${\text{Re}}s\geq 1-\frac{c}{(\ln|t|)^{2/3}(\ln\ln|t|)^{1/3}},\;\; |t| > 0.$

2000 m. Karacuba rado atvirkščius sąryšius tarp $R_{k}(x)$ įverčių ir funkcijos $\zeta(s)$ elgesio arti tiesės ${\text{Re}}s=1.$ Be kita ko, jis įrodė, kad jei $\alpha(y)$ yra bet kokia nedidėjanti funkcija, tenkinanti sąlygą $1/y\leq \alpha(y)\leq 1/2$, kad su visais $k\geq 2$ galioja įvertis

$|R_{k}(x)|\leq x^{1-\alpha(k)}(c\ln x)^{k},$ tai tuomet funkcija $\zeta(s)$ neturi nulių srityje

${\text{Re}}s\geq 1-c_{1}\frac{\alpha(\ln|t|)}{\ln\ln|t|},\;\; |t|\geq e^{2},$

$c$ ir $c_{1}$ yra absoliučios teigiamos konstantos.

Rymano dzeta funkcijos maksimumo įverčiai iš apačios siaurose kritinės juostos srityse ir mažuose kritinės tiesės intervaluose

Karacuba apibrėžė ir nagrinėjo funkcijas $F(T;H)$ ir $G(s_{0};\Delta)$, duotas lygybėmis

$F(T;H)=\max\limits_{|t-T|\leq H}\bigg|\zeta(\frac{1}{2}+it)\bigg|,\;\; G(s_{0};\Delta)=\max\limits_{|s-s_{0}|\leq \vartriangle}|\zeta(s)|.$

Čia $T$ yra pakankamai didelis teigiamas skaičius, $0 < H \ll\ln\ln T,\; s_{0}=\sigma_{0}+iT, \; \frac{1}{2}\leq \sigma_{0}\leq 1,\; 0 < \Delta < \frac{1}{3}.$ Dydžių $F(t;H)$ ir $G(s_{0};\Delta)$ įverčiai iš apačios rodo, kiek dideles reikšmes funkcija $|\zeta(s)|$ gali įgyti trumpuose kritinės tiesės intervaluose arba kritinės juostos $0\leq {\text{Re}}s\leq 1$ taškų mažose aplinkose. Atvejį $H\gg \ln\ln T$ anksčiau nagrinėjo Ramačandra (Ramachandra), o atvejis $\Delta > c$ su pakankamai didele konstanta $c$ yra trivialus.

Be kita ko, Karacuba įrodė, kad jei $H$ ir $\Delta$ reikšmės yra didesnės už kurias nors pakankamai mažas konstantas, tai tuomet su kuriomis nors absoliučiomis konstantomis $c_{1}$ ir $c_{2}$ galioja įverčiai

$F(T;H)\geq T^{-c_{1}}, \;\; G(s_{0};\Delta)\geq T^{-c_{2}}.$

Dzeta funkcijos elgesys kritinėje tiesėje

Karacuba gavo eilę naujų rezultatų apie funkcijos $S(t) = \frac{1}{\pi}\arg{\zeta\bigl(\tfrac{1}{2}+it\bigr)}$, vadinamos Rymano dzeta funkcijos argumentu kritinėje tiesėje, elgesį. Čia $\arg\zeta(\frac{1}{2}+it)$ yra bet kurios tolydžios $\arg\zeta(s)$ šakos pokytis išilgai laužt{\. e}s, jungian{\v c}ios taškus $2$, $2+it$ ir $\frac{1}{2}+it.$ Tarp tų rezultatų yra funkcijos $S(t)$ ir jos pirmojo integralo $S_{1}(t)=\int\limits^{t}_{0}S(u) du$ vidurkių teoremos realiosios ties{\. e}s intervaluose bei teorema, tvirtinanti, jog intervale $(T,T+H]$ su $H\geq T^{27/82+\varepsilon}$ yra bent $H(\ln T)^{1/3}e^{-c\sqrt{\ln\ln T}}$ taškų, kuriuose funkcija $S(t)$ keičia ženklą. Anksčiau panašius rezultatus atveju $H\geq T^{1/2+\varepsilon}$ buvo gavęs Selbergas.

Dirichlė charakteriai

Trumpų charakterių sumų baigtiniuose kūnuose įverčiai

Šeštojo dešimtmečio pabaigoje Karacuba, vertindamas trumpas charakterių sumas, išvystė naują metodą, leidžiantį gauti netrivialius trumpų charakterių sumų baigtiniuose kūnuose įverčius. Tegul $n\geq 2$ yra fiksuotas sveikasis skaičius, $F(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ yra neredukuojamas virš racionaliųjų skaičių kūno $\mathbb{Q}$ polinomas, $\theta$ yra lygties $F(x)=0$ šaknis, $\mathbb{Q}(\theta)$ yra atitinkamas kūno $\mathbb{Q}$ plėtinys, $\omega_{1},...,\omega_{k}$ yra plėtinio $\mathbb{Q}(\theta)$ bazė, $\omega_{1}=1$, $\omega_{2}=\theta$, $\omega_{3}=\theta^{2}$,…,$\omega_{n}=\theta^{n-1}$. Tarkime, kad $p$ yra toks pakankamai didelis pirminis skaičius, kad polinomas $F(x)$ yra neredukuojamas moduliu $p$, $GF(p^{n})$ yra Galua kūnas su baze $\omega_{1}, \omega_{2},...,\omega_{n}$ ir $\chi$ yra nepagrindinis kūno $GF(p^{n})$ charakteris. Pagaliau tegul $\nu_{1},...,\nu_{n}$ yra kurie nors neneigiami sveikieji skaičiai, o $D(X)$ yra tokia Galua kūno $GF(p^{n})$ elementų $\overline{x},$

$\overline{x}=x_{1}\omega_{1}+...+x_{n}\omega_{n},$

aibė, kad su kiekvienu $i$, $1\leq i\leq n,$ yra teisingos nelygybės

$\nu_{i} < x_{i} < \nu_{i}+X.$

Karacuba įrodė, kad su kiekvienu fiksuotu $k$, $k\geq n+1,$ ir su bet kuriuo $X$, tenkinančiu nelygybes

$p^{\frac{1}{4} + \frac{1}{4k}}\leq X \leq p^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4k}},$

yra teisingas įvertis

$\bigg|\sum\limits_{\overline{x}\in D(X)}\chi(\overline{x})\bigg|\leq c(X^{1-\frac{1}{k}}p^{\frac{1}{4k} + \frac{1}{4k^{2}}})^{n}(\ln p)^{\gamma};$

čia $\gamma=\frac{1}{k}(2^{n+1}-1)$, o konstanta $c$ priklauso tik nuo $n$ ir nuo bazės $\omega_{1},...,\omega_{n}.$

Tiesinių charakterių sumų pastumtuose pirminiuose skaičiuose įverčiai

Karacuba sukŭrė eilę metodų, kurie kartu su Vinogradovo metodu sumų pagal pirminius skaičius įvertinimu, leido jam 1970 m. įvertinti sumas su nepagrindiniu charakteriu pirminiu moduliu $q$ pastumtuose pirminiuose skaičiuose. Jis įrodė, kad

$\bigg|\sum\limits_{p\leq N}\chi(p+k)\bigg|\leq cNq^{-\frac{\varepsilon^{2}}{1024}};$

čia $k$ yra sveikasis skaičius, $k\not\equiv 0({\text{mod}} q)$, $\varepsilon$ yra kiek norint ma{\v z}as fiksuotas skaičius, $N\geq q^{1/2+\varepsilon}$, o konstanta $c$ priklauso tik nuo $\varepsilon$.

Šis tvirtinimas yra žymiai stipresnis negu Vinogradovo įvertis, kuris yra netrivialus, kai $N\geq q^{3/4+\varepsilon}.$ 1971 m. akademikas Jurijus Linikas (Linnik), kalbėdamas tarptautinėje skaičių teorijos konferencijoje, skirtoje Ivano Matvejevičiaus Vinogradovo aštuoniasdešimtmečiui, pažymėjo:

"Labai svarbūs yra Vinogradovo Dirichlė charakterių pastumtuose pirminiuose skaičiuose sumos

$\sum\limits_{p\leq N}\chi(p+k)$

įverčiai su $N\geq q^{3/4+\varepsilon}$, $\varepsilon > 0$, kai $q$ yra charakterio $\chi$ modulis. Tokie įverčiai yra nepaprastai svarbūs ir tiek gilūs, jog duoda daugiau negu išplėstinė Rymano hipotezė ir, atrodo, kad tai yra net gilesnis faktas už hipotezė. Neseniai šį įvertį patikslino A. A. Karacuba".

Minėtą rezultatą Karacuba išplėtė atveju, kai $p$ perbėga pirminius skaičius aritmetinėje progresijoje, kurios skirtumas auga kartu su moduliu $q.$

Charakterių sumų polinomuose su pirminiu argumentu įverčiai

Karacuba gavo eilę įverčių charakterių sumoms antrojo laipsnio polinomuose atveju, kai polinomo argumentas perbėga trumpą vienas po kito einančių pirminių skaičių seką. Tarkime, jog $q$ yra pakankamai didelis pirminis skaičius, $f(x)=(x-a)(x-b),$ $a$ ir $b$ yra sveikieji skaičiai, susieti lygybe $ab(a-b)\not\equiv 0 ({\text{mod}} q)$, o $\bigg(\frac{n}{q}\bigg)$ yra Ležandro simbolis. Tuomet su kiekvienu $\varepsilon$, $0 < \varepsilon < \frac{1}{2}$, ir $N > q^{3/4+\varepsilon}$ sumai

$S_{N}=\sum\limits_{p\leq N}\bigg(\frac{f(p)}{p}\bigg)$ yra teisingas įvertis

$|S_{N}|\leq c\pi(N)q^{-\frac{\varepsilon^{2}}{100}}.$

Čia $p$ nuosekliai perbėga pirminius skaičius, $\pi(N)$ yra pirminių skaičių, neviršijančių $N$, skaičius, o $c$ yra konstanta, priklausanti tik nuo $\varepsilon$.

Panašų įvertį gavo ir tuo atveju, kai $p$ perbėga pirminius skaičius aritmetinėje progresijoje, kurios skirtumas gali augti kartu su moduliu $q$.

Karacuba iškėlė hipotezę, kad netrivialus sumos $S_{N}$ su $N$, kuris yra "mažas" lyginant su $q$, įvertis išlieka teisingas tik tuomet, kai $f(x)$ yra bet kurio laipsnio $n$ polinomas, nelygus kvadratui moduliu $q$. Ši hipotezė yra iki šiol atvira.

Įverčiai iš apačios charakterių nuo polinomų sumoms

Karacuba sudarė begalinę pirminių skaičių seką ir polinomų $f(x)$ laipsnio $n$ su sveikaisiais koeficientais seką, kuriose $f(x)$ nėra pilnas kvadratas moduliu $p$,

$\frac{4(p-1)}{\ln p}\leq n \leq \frac{8(p-1)}{\ln p}$ ir

$\sum\limits^{p}_{x=1}\bigg(\frac{f(x)}{p}\bigg)=p.$

Kitaip tariant, su kiekvienu $x$ reikšmė $f(x)$ yra kvadratinis likinys moduliu $p$. Šis rezultatas įrodė, kad Andrė Veilio (Andrè Weil) įvertis

$\bigg|\sum\limits^{p}_{x=1}\bigg(\frac{f(x)}{p}\bigg)\bigg|\leq (n-1)\sqrt{p}$ iš esmės negali būti patikslintas ir dešinioji nelygybės pusė negali būti pakeista, tarkime, reikšme $C\sqrt{n}\sqrt{p}$ su absoliučia konstanta $C$.

Charakterių nuo adityviųjų sekų sumos

Karacuba atrado naują metodą kuris leido gauti pakankamai tikslius įverčius nepagrindinių charakterių nuo adityvių sekų sumoms. Tokios sekos yra sudarytos iš skaičių $x+y$, kai kintamieji $x$ ir $y$ nepriklausomai vienas nuo kito perbėga kurias nors aibes $A$ ir $B$. Bene charakteringiausias šios rūšies pavyzdys yra tvirtinimas, kuris buvo pritaikytas sprendžiant platų problemų, susijusių su Dirichlė charakterių reikšmių sumavimu, ratą. Tarkime, kad $\varepsilon$ yra kiek norint mažas fiksuotas skaičius, $0 < \varepsilon < \frac{1}{2}$, $q$ yra pakankamai didelis pirminis skaičius, o $\chi$ yra nepagrindinis charakteris moduliu $q$. Be to, tegul $A$ ir $B$ yra bet kokie pilnosios likinių klasių sistemos moduliu $q$ poaibiai, tenkinantys sąlygas $\|A\| > q^{\varepsilon}$, $\|B\| > q^{1/2+\varepsilon}.$ Tuomet yra teisingas įvertis

$\bigg|\sum\limits_{x\in A}\sum\limits_{y\in B}\chi(x+y)\bigg|\leq c\|A\|\cdot \|B\|q^{-\frac{\varepsilon^{2}}{20}}, \;\; c=c(\varepsilon)>0.$

Karacubos metodas leido gauti tokio pobūdžio įverčius ir kitais atvejais, kai anksčiau nurodytos sąlygos aibėms $A$ ir $B$ yra pakeičiamos kitomis, pavyzdžiui, kai

$\|A\| > q^{\varepsilon},\;\;\sqrt{\|A\|}\cdot\|B\| > q^{1/2+\varepsilon}.$

Atveju, kai $A$ ir $B$ yra pirminių skaičių atitinkamai iš intervalų $(1,X]$ ir $(1,Y]$ aibės, $X\geq q^{1/4+\varepsilon}$, $Y\geq q^{1/4+\varepsilon}$, galioja įvertis

$\bigg|\sum\limits_{p\leq X}\sum\limits_{p'\leq Y}\chi(p+p')\bigg|\leq c\pi(X)\pi(Y)q^{-c_{1}\varepsilon^{2}}.$

Čia $\pi(Z)$ yra pirminių skaičių, neviršijančių $Z$, skaičius, $c=c(\varepsilon) > 0$, o $c_{1}$ yra absoliuti konstanta.

Laipsninių likinių klasių ir pirmykščių šaknų pasiskirstymas retose sekose

2000 m. Karacuba gavo netrivialius Dirichlė charakterių sumų su svoriais įverčius, t. y., sumų, kurių dėmenys $\chi(n)f(n)$, ir $f(n)$ yra natūralaus argumento funkcija. Tokio tipo įverčiai yra taikomi sprendžiant platų skaičių teorijos uždavinių, susijusių su laipsninių likinių klasių bei pirmykščių šaknų kai kuriose sekose pasiskirstymu, ratą.

Tegul $k\geq 2$ yra sveikasis skaičius, $q$ yra pakankamai didelis pirminis skaičius, $(a,q)=1$, $|a|\leq \sqrt{q},$ $N\geq q^{\frac{1}{2}-\frac{1}{2(k+1)}+\varepsilon}$, $0 < \varepsilon < \min\{0.01, \frac{2}{3(k+1)}\}$ ir

$D_{k}(x)=\sum\limits_{x_{1}*...*x_{k}\leq x}1=\sum\limits_{n\leq x}\tau_{k}(n).$

Sumos $D_{k}(x)$ asimptotinė formulė buvo pateikta skyrelyje apie Dirichlė daliklių daugiamates problemas. Funkcijos $\tau_{k}(n)$ reikšmių sumoms $V_{1}(x)$ ir $V_{2}(x)$ pagal $n\leq x$, kai $(n+a)$ yra kvadratiniai likiniai ir nelikiniai moduliu $q$, Karacuba gavo tokias asimptotines formules

$V_{1}(x)=\frac{1}{2}D_{k}(x)+O(xq^{-0.01\varepsilon^{2}}), \;\; V_{2}(x)=\frac{1}{2}D_{k}(x)+O(xq^{-0.01\varepsilon^{2}}).$

Panašiai, reikšmių $\tau_{k}(n)$ pagal $n\leq x$ sumai $V(x)$, kai $(n+a)$ yra primityvioji šaknis moduliu $q$, buvo gauta asimptotinė formulė

$V(x)=\bigg(1-\frac{1}{p_{1}}\bigg)\ldots\bigg(1-\frac{1}{p_{s}}\bigg)D_{k}(x)+O(xq^{-0.01\varepsilon^{2}}),$ kurioje $p_{1},...,p_{s}$ yra visi skaičiaus $q-1$ pirminiai dalikliai. Savo metodą Karacuba taip pat pritaikė laipsninių likinių (nelikinių) pasiskirstymo uždaviniams pastumtų pirminių skaičių $p+a$, sveikųjų skaičių, turinčių pavidalą $x^{2}+y^{2}+a$, ir kitose sekose.

Paskutiniųjų metų darbai

Paskutiniaisiais gyvenimo metais be skaičių teorijos tyrimų Karacuba nagrinėjo ir kai kurias teorinės fizikos problemas, ypač kvantinės kūnų teorijos srityje. Pritaikęs savo ATS teoremą ir kai kuriuos kitus skaičių teorijos metodus, jis gavo naujus rezultatus apie Džeinso-Kamingso (Jaynes-Cummings) modelį kvantinėje optikoje.

Asmeninis gyvenimas

Šį biografinį straipsnį reikėtų sutvarkyti pagal Vikipedijos standartus. Jei galite, prašome sutvarkyti šį straipsnį. Tik tada bus galima ištrinti šį pranešimą. Taip pat, jei norite, Tvarkos projekte galite parašyti, kad sutvarkėte šį straipsnį. Priežastys, dėl kurių straipsnis laikomas nesutvarkytu, aiškinamos straipsnyje Nesutvarkyti straipsniai.

Pamyre

Jis buvo vedęs Dianą Vasiljevną Senčenko, buvusią tų pačių metų Maskvos valstybinio Lomonosovo universiteto Matematikos ir mechanikos fakulteto studentę. Dabar ji fizikos matematikos m. kandidatė, MVU Ekonomikos fakulteto matematinių metodų ekonomikoje katedros docentė. Jų duktė Jekaterina Anatoljevna Karacuba yra Dorodnicyno skaičiavimo centro vedančioji mokslo darbuotoja, profesorė, fizikos ir matematikos mokslų daktarė.

Visą savo gyvenimą Karacuba daug sportavo. Jaunystėje užsiiminėjo lengvąja atletika, vėliau speleologija ir kalnų turizmu. Yra vienuolika kartų kopęs į aukštesnes negu 7000 metrų viršukalnes.

• Ismoilo Somonio viršukalnė (anksčiau TSRS), 1977 m. ir 1985 m.

• Lenino viršukalnė, 1968 m. ir 1979 m.

• Korženevskajos viršukalnė, 1980 m., 1982 m., 1983 m., 1985 m., 1986 m., 1988 m. ir 1991 m.

Keturis kartus jis įkopė į Elbruso viršukalnę. Kopė Kaukazo, Pamyro, ypač paskutiniais savo gyvenimo metais, bei Tiam-Šanio, Zailiski Alatau ir Tesky Ala-To kalnuose.

Kryme

Mėgo klasikinę muziką ir puikiai ją žinojo, ypač Johaną Sebastianą Bachą ir Antonijų Vivaldį. Regulairiai lankė koncertus Maskvos konservatorijoje, mėgo Svetoslavo Richterio, Leonido Kogano, Mstislavo Rostropovičiaus, Viktoro Tretjekovo, Andrejaus Korsakovo ir jo grupės "Koncertino", Vladimiro Ovčinikovo, Nikolajaus Luganskio koncertus.

• Anatolijus Aleksejevičius Karacuba (http://genealogy.math.ndsu.nodak.\\edu/id.php?id=\\87931) Matematikos geneologijos projekte.

• "Karacuba Anatolijus Aleksejevičius (asmeninis puslapis)" (http://www.\\mi.ras.ru/~\\karacuba/index e. html). http://www.mi.ras.ru/~karacuba/index e. html.\\ Atnaujinta 2008 m. lapkričio 17 d.

• Mokslinių darbų sąrašas (http://www.mi.ras.ru/~karacuba/\\list e. html) Steklovo Matematikos Institute